Моделирование систем передачи данных с импульсно-кодовой модуляцией

Лабораторная работа № 1. Изучение методов моделирования простейших систем в программе SystemView

Цель работы: первоначальное знакомство с программой SystemView bу Elanix (сейчас она называется SystemVue) в ее стандартной конфигурации.

Дополнительные опции и библиотеки, расширяющие ее функциональные возможности, следует изучать самостоятельно, руководствуясь описанием [1], встроенной помощью, многочисленными примерами и рекомендациями по применению, имеющимися на сайте компании Elanix (www.elanix.com) и Agilent (www.agilent.com/find/eesof). Для применения программы необходимо знание основ теории обработки сигналов, основных сведений по математике и владение навыками работы в среде Windows. Для самостоятельной разработки схем желательно пользоваться монографией [2], примеры в которой ориентированы на System View.

Программа System View предназначена для моделирования различных систем обработки сигналов, систем связи, систем автоматического управления и др. Она представляет собой «конструктор», позволяющий из стандартных кубиков создавать функциональные схемы устройств и выполнять моделирование при воздействии различных сигналов и помех. Возможности System View расширяются за счет создания иерархических структур (макромоделей или метасистем по принятой в System View терминологии), библиотек пользователей, написанных на языке Си и реализуемых в виде DLL-библиотек, и моделей, созданных в программе Matlab. По завершении моделирования цифрового устройства данные о его структуре могут быть переданы программе синтеза ПЛИС фирмы Xilinx. System View отличается от известной программы LabView наличием большого количества специализированных библиотек.

1. Краткий обзор System View

Интерфейс System View состоит из двух основных окон: окна функциональных схем System (далее — окно System) и окна результатов моделирования Analysis (далее — окно Analysis). Функциональная схема моделируемого устройства создается в окне System (см. рисунок 1.1), с использованием функциональных блоков (Tokens) из различных библиотек, пиктограммы которых расположены в левой части экрана.

С помощью переключателя Select Library Reservoir (расположен с левого края панели инструментов) выбирается библиотека. В основной набор (Main Libraries) входят библиотеки: Source (источники сигналов), Operator (линейные операторы), Function (нелинейные функции), Sink (измерители, анализаторы данных), а также Adder (сумматор) и Multiplier (умножитель).

Состав каталога дополнительных библиотек (Optional Libraries) таков: Custom (библиотеки пользователей), Communication (устройства систем связи — кодеры, декодеры, модуляторы, демодуляторы, модели каналов систем связи), DSР1 (элементы устройств цифровой обработки сигналов), Logic (стандартные цифровые устройства), RF2/Analog (элементы трактов аналоговой обработки сигналов), M-Link (связь с моделями, созданными в программе Matlab).

Рисунок 1.1 — Окно функциональных схем System

2. Задание к выполнению лабораторной работы Задание 2.1. Создайте простейшую систему, в которой генерируется гармонический (синусоидальный) сигнал и вычисляется его квадрат (см. рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 — Схема к заданию в окне ввода функциональных схем System

3. Порядок выполнения лабораторной работы Для проведения моделирования необходимо задать параметры моделирования: частоту моделирования (Sample Rate) и длительность реализации, которая обычно задается числом отсчетов (No. Of Samples). Для этого имеется специальное окно, которое раскрывается после нажатия кнопки «System Time». Щелчком по кнопке «System Time» откроем диалоговое окно «System Time Specification». В простейшем случае можно принять параметры моделирования, заданные по умолчанию. Для этого надо в открывшемся диалоговом окне нажать «ОК».

Создадим схему, приведенную на рисунке 1.1. На этой схеме четыре элемента, причем два из них одинаковые.

Поместим на рабочее поле источник гармонического сигнала. Для этого дважды щелкнем левой кнопкой мыши на пиктограмме «Generic Source» библиотеки «Main». Переместим элемент на рабочее поле.

Зададим параметры источника сигнала: двойным щелчком по символу элемента откроем библиотеку «Source». Выберем группу «Periodic», затем — источник синусоидального напряжения «Sinusoid». Параметры источника задаются в окне после нажатия кнопки «Parameters…». В поле «Frequency» вводим значение частоты, например 4, остальные параметры не изменяем и нажимаем «ОК». Итак, на рабочем поле появился первый элемент — источник гармонического сигнала с единичной амплитудой и частотой 4 Гц (на рисунке 1.2 элемент с номером Ї0).

Элемент квадратор выберем из библиотеки «Generic Function». Поместим элемент «Function» на рабочее поле (блок 2, см. рисунок 1.2). Двойным щелчком по символу элемента откроем библиотеку «Function». Выберем группу «Algebraic», затем — элемент возведения в степень х^а. В окне «Parameters…» в поле «Exponent» вводим значение показателя степени 2 и нажимаем «ОК». На рабочем поле появился второй элемент — устройство возведения в квадрат мгновенных значений входного колебания.

Разместим на схеме анализатор данных «Sink». В каталоге библиотеки выберем группу «Graphic» и в ней элемент «System View» (виртуальный осциллограф). Рядом с этим анализатором автоматически располагается поле графика, на котором будет нарисована эпюра напряжения в процессе моделирования. Расположим поле графика так, чтобы оно не закрывало элементы схемы.

Для размещения второго анализатора данных «Sink» удобно про-дублировать уже имеющийся на схеме анализатор. Для этого воспользуемся контекстным меню (меню правой кнопки мыши) анализатора данных «Sink», где выберем команду «Duplicate Token».

Очевидно, что второй анализатор данных можно было бы разместить, как и первый, с использованием библиотеки «Sink».

Расположим все четыре элемента в соответствии со схемой (см. рисунок 1.2).

Установим связи между элементами. Для этого имеются две возможности. Первая — с использованием элементов панели инструментов. Альтернативой является соединение элементов при нажатой клавише Ctrl клавиатуры.

Обратите внимание, что соединение и разъединение элементов всегда производится по направлению распространения сигнала.

Задание 2.2. Выполним команду Run System (нажмем F5 или щелкнем по кнопке с зеленым треугольником на панели инструментов окна ввода схемы).

В графических окнах (на рисунке 1.2 эти окна имеют надписи «System View Sink» 1 и «System View Sink» 3) появятся графики процессов на выходе генератора и выходе квадратора. Для детального рассмотрения графиков каждое окно можно увеличить после щелчка по нему левой кнопкой мыши.

Задание 2.3. Перейдем в окно анализа данных «Analysis», щелкнув по крайней правой кнопке на панели инструментов. В нем должны появиться два графика. Если этого не произойдет, нажмем на кнопку «Load New System Data», расположенную на панели инструментов окна анализа с левого края, и затем кнопку «Open All Windows». В результате должны быть построены два графика: синусоидального напряжения с частотой 4 Гц и его квадрата.

Задание 2.4. Щелкнем по кнопке «Sink Calculator» и выберем группу «Operator». Затем выберем пункт «Overlay Plot» (Наложение графиков). В окне заголовков графиков в правой верхней части диалогового окна надо отметить названия двух виртуальных осциллографов (при нажатой клавише Ctrl). После нажатия «ОК» в окне анализа данных будет построен новый график, на котором совмещены две осциллограммы.

Задание 2.5. Щелкнем снова по кнопке «Sink Calculator» и выберем группу «Spectrum». Затем выберем тип спектра «20 log |FFT|» и в списке окон отметим название графика, на котором построены два сигнала. В результате откроется новое графическое окно с изображением спектров сигналов. Проверим, что один спектр имеет максимум на частоте 4 Гц, а второй — на частоте 8 Гц. Для упорядочивания всех графиков нажмем кнопку «Tile Vertical» на панели инструментов окна «Analysis».

Задания для самостоятельной работы

Выполните задания с 1 по 5, используя описание выполнения задания 2.1.

Задание 3.1. Включение сигнала постоянного уровня на фильтры нижних частот (ФНЧ) и верхних частот (ФВЧ) (см. рисунок 1.3).

Генератор: Source Library > Aperiodic/ Step Fct.

Параметры:

Рисунок 1.3 — Схема к заданию 1

До создания схемы необходимо задать параметры моделирования: Sample Rate = 100 Гц, No. Of Samples = 500.

Блоки, соответствующие моделям фильтров, можно найти в библиотеке Optional Libraries (нажмите кнопку в левой части панели инструментов окна System), затем войдите в библиотеку Rf/Analog > RC-Circuits. Выберите блоки, указанные на рисунке 1.3. Параметры этих блоков (значения сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов) оставьте без изменения.

Соберите схему до конца. Параметры источника сигнала: Amplitude (v) = 1; Start Time (sec) = 0; Offset (v) = 0.

Проведите моделирование (нажмите F5). Рассмотрите переходные процессы на выходах ФНЧ и ФВЧ. Измените уровень входного сигнала с 1 В на 2 В. Проведите моделирование и рассмотрите переходные процессы на выходах фильтров.

Объясните, почему на выходе ФНЧ переходный процесс начинается из нуля, а его установившееся значение равно уровню входного сигнала. Поясните характер зависимости выходного сигнала для ФВЧ от времени.

Занесите в отчет схему моделирования, параметры моделирования, параметры модели, переходные процессы на выходах фильтров. Поясните вид переходных характеристик для этих двух фильтров.

Постройте АЧХ и ФЧХ для ФНЧ и ФВЧ на экране (в окне System) и занесите их в отчет. Для построения частотных характеристик фильтров надо дважды щелкнуть левой кнопкой мыши на пиктограмме блока, на вкладке «Параметры» нажать кнопку «Bode Plot».

Желтым цветом на экране нарисована АЧХ, синим цветом — ФЧХ.

Задание 3.2. Воздействие линейно нарастающего сигнала на фильтр верхних частот (ФВЧ) (см. рисунок 1.4).

Рисунок 1.4 — Схема к заданию 2

Генератор: Source Library > Aperiodic/Time.

Задайте параметры моделирования: Sample Rate = 100 Гц, No. Of Samples = 500. Параметры модели ФВЧ оставьте без изменения. Параметры источника сигнала: Gain (v/sec) = 10; Offset (v) = 0.

Проведите моделирование (нажмите F5). Рассмотрите переходные процессы на выходе фильтра. Поясните характер зависимости сигнала на выходе фильтра от времени. Почему в установившемся режиме на выходе фильтра устанавливается не нулевое напряжение, как в предыдущем случае, а имеется выходной сигнал некоторого уровня? Определите, как зависит этот уровень от скорости изменения воздействия.

Занесите в отчет схему моделирования, параметры моделирования, параметры модели, переходные процессы на выходе фильтра при разных значениях скорости изменения воздействия.

Задание 3.3. Прохождение одиночного импульсного сигнала на выход фильтров нижних (ФНЧ) и верхних частот (ФВЧ) (см. рисунок 1.5).

Рисунок. 1.5 — Схема к заданию 3

Генератор: Source Library > Aperiodic/ Step Fct.

Задайте параметры моделирования: Sample Rate = 100 Гц, No. Of Samples = 1000. Параметры моделей фильтров такие же, как в примере 1. Видеоимпульс формируется как сумма двух полубесконечных ступенчатых функций. Параметры блока 4: Amplitude (v) = 1; Start Time (sec) = 0; Offset (v) = 0. Параметры блока 6: Amplitude (v) = - 1; Start Time (sec) = 5; Offset (v) = 0.

Проведите моделирование (нажмите F5). Рассмотрите переходные процессы на выходах ФНЧ и ФВЧ. Поясните характер зависимостей сигнала на выходе ФВЧ от времени. Поясните характер зависимостей сигнала на выходе ФНЧ от времени. Занесите в отчет схему моделирования, параметры моделирования, параметры модели, переходные процессы на выходах фильтров.

Опишите словами особенности сигнала на выходе фильтров обоих типов и поясните характерный вид этих зависимостей.

Задание 3.4 Воздействие периодического импульсного сигнала на фильтры ФНЧ и ФВЧ Составьте схему модели по образцу задания 2.1.

Генератор: Source Library > Aperiodic/PulseTrain.

Задайте параметры моделирования: Sample Rate = 100 Гц, No. Of Samples = 1000. Параметры моделей фильтров такие же, как в примере 1. Параметры источника сигнала: Amplitude (v) = 1; Frequency (Hz) = 0,5; Pulse Width (sec) = 1; Offset (v) = 0; Phase (deg) = 0.

Проведите моделирование. Рассмотрите переходные процессы на выходах ФНЧ и ФВЧ. Поясните характер зависимостей сигнала на выходе ФВЧ от времени. Поясните характер зависимостей сигнала на выходе ФНЧ от времени.

Занесите в отчет схему моделирования, параметры моделирования, параметры модели, переходные процессы на выходах фильтров. Опишите словами особенности сигнала на выходе фильтров обоих типов и поясните характерный вид этих зависимостей. Сравните переходные процессы на выходах фильтров с результатами, полученными в задании 3.3.

Задание 3.5 Генератор фазоманипулированного сигнала Фазоманипулированный сигнал получается перемножением знакопеременной последовательности импульсов и синусоидального сигнала.

Рисунок 1.6 — Схема к заданию 5

Генератор: Source Library > Noise/PN.

Параметры моделирования: Sample Rate = 1000 Гц, No. Of Samples = 2048. Параметры источника сигнала: Amplitude (±v) = 1; Rate (Hz) = 4,8; No. Levels = 2; Offset (v) = 0; Phase (deg) = 0.

Предусмотрите вывод графиков модулирующей функции (выход блока 17) и модулированного сигнала выход блока 16).

Постройте и проанализируйте спектры этих колебаний.

Задание 3.6 Генератор и канал прохождения амплитудномодулированного (АМ) сигнала (см. рисунок 1.7)

Постройте схему формирования сигнала АМ, смоделировав выражение u (t)=[1+ 0,8cos 2р· F·t] sin 2р· f·t.

Параметры моделирования: Sample Rate = 1000 Гц, No. Of Samples = 2048. Параметры двух гармонических составляющих сигнала (блоки 0 и 1, рисунок 9) F=10 Гц, f=100 Гц. Предусмотрите вывод графиков модулирующей функции и модулированного сигнала.

Добавьте белый гауссовский шум (блок 7, см. рисунок 1.7). Смесь АМ сигнала и шума подайте на полосовой фильтр (блок 8, см. рисунок 1.7).

Рисунок 1.7 — Схема к заданию 3.6

Параметры фильтра: аналоговый, Баттерворта, полосовой, порядок 3, частоты среза Low Cutoff (f-F) Гц и Hi Cutoff (f+F) Гц. Выбор параметров линейной системы осуществляется последовательно в окнах библиотеки операторов и пояснено в п.п. а, б, в.

а) Фильтр: Operator > Linear Sys Filters.

б) Выберите тип фильтра — аналоговый (Analog), порядок 3.

в) Параметры фильтра: фильтр Баттерворта (Butterworth), полосовой (Bandpass), порядок 3, частоты среза: Low Cutoff = (f-F) Hz, Hi Cutoff = (f+F) Hz.

Постройте и проанализируйте спектры полученных сигналов.

Параметры двух гармонических составляющих сигнала (блоки 0 и 1, см. рисунок 1.7) для индивидуальных заданий приведены в таблице.

Таблица 1- Индивидуальные задания для моделирования

В соответствии с заданными значениями частот модулирующего и несущего колебания выберите значения параметров моделирования: Sample Rate, No. Of Samples, фильтра, обеспечивающих адекватное отображение результатов моделирования.

Постройте спектры полученных сигналов, сравните с результатами предыдущей модели.

Задание 3.7 Генератор сигнала с линейным законом изменения частоты (сигнал с линейной частотной модуляцией — ЛЧМ — сигнал) (см. рисунок 1.8)

Рисунок 1.8 — Схема к заданию 3.7

Генератор: Source Library > Freq Sweep.

Параметры: Amplitude = 1v, Start Freq = 10 Hz, Stop Freq = 200 Hz, Period = 1 sec, Phase = 0 deg.

Параметры моделирования: Sample Rate = 1000 Гц, No. Of Samples = 2048. Предусмотрите вывод графиков модулированного сигнала.

Параметры фильтра: фильтр Баттерворта (Butterworth), низкой частоты (Lowpass), порядок 3, частоты среза: Low Cutoff = 120 Hz.

Моделирование системы с обратной связью Пример Построим функциональную схему системы с обратной связью (см. рисунок 1.9).

Рисунок 1.9- Схема системы с обратной связью

1. Очистим окно System нажатием на кнопку панели инструментов.

2. Щелчком по кнопке System Time откроем диалоговое окно System Time Specification, зададим число отсчетов на интервале моделирования No. Оf Samples = N = 512 и частоту отсчетов Sample Rate fд = 100 Гц. Тогда длительность реализации Stop Time — Start Time = (N — 1)/fд = 5,11 с.

3. Установим источник сигнала: Source Library > Aperiodic/Ext > Step Fct. Параметры источника следующие: Amplitude (v) = 1; Stop Time (sec) = 0; Offset (v) = 0.

4. Установим элемент Сумматор (Adder).

5. Далее по схеме надо поставить пропорционально-интегрирующий дифференцирующий фильтр (PID): Operator > Integral/Diff > PID. Выходное напряжение фильтра определяется по формуле где x (t) — входное напряжение.

Параметры фильтра:

GP = Proportional Gain = 2;

GI = Integrator Gain = 3;

GD = Derivative Gain = 0.

6. Следующий элемент схемы — Интегратор: Operator > Integral /Diff > Integral. Параметры: Integration Order (метод численного интегрирования) = Zero. Initial Condition (начальное напряжение) = 0.

7. Установим еще один элемент — Усилитель: Operator > Gain/Scale > Gain. Параметры: Gain Units = Linear; Gain = - 2.

8. Щелкнем правой кнопкой мыши на элементе Gain и выполним команду Reverse Token. Вход элемента окажется справа, выход — слева, при этом соединяющие линии оказываются короче и схема выглядит наглядно.

9. На выходе элементов Источник сигнала и Интегратор установим виртуальные осциллографы — анализаторы данных показаны на рисунке 1.13.

10. Соединим все блоки функциональной схемы согласно рисунке 1.13.

Выполним моделирование. По окончании моделирования на нижнем входе сумматора появится индикатор [z — 1]. Он показывает место введения задержки на один такт дискретизации в цепь обратной связи. Наличие таких задержек характерно для всех физически реализуемых цифровых систем с обратной связью.

Результаты моделирования могут быть представлены в виде графика или в виде таблицы данных. Для представления результатов в виде таблицы чисел нужно изменить тип анализатора данных на «Numeric Display > Data List». Тогда по окончании моделирования в расположенном рядом с анализатором окне будет выведена таблица отсчетов данных. Вывод этих данных на печать или в файл выполняется с помощью меню правой кнопки для этого окна.

Динамическое отображение результатов моделирования В окне «Analysis» отображаются результаты моделирования по его окончании. Текущие динамически обновляемые результаты отображаются на графике с помощью модуля «Dynamic System Probe» в окне «System». Для построения такого графика кнопка, расположенная в нижнем левом углу экрана «System» (см. рисунок 1.1) перетаскивается на рабочее поле, в результате чего она приобретает вид пробника. После отпускания кнопки мыши этот пробник располагается у ближайшего блока, и открывается изображенное на (см. рисунок 1.10) окно построения графиков. Если в нижней части этого окна расположена кнопка «Time», то будет построен график напряжения на выходе того блока, на который указывает пробник. После щелчка мышью по этой кнопке ее надпись изменяется на «Frequency» — это означает, что после завершения моделирования будет построен график зависимости модуля преобразования Фурье напряжения на выходе блока от частоты. Одновременно на функциональную схему можно поместить одно такое окно, а на нем два графика. Характер графиков изменяется с помощью инструментов, показанных на рисунке 1.10 и 1.11.

Рисунок 1.10 -Результат моделирования в режиме Dynamic System Probe (один график —)

Рисунок 1.11 -Результат моделирования в режиме Dynamic System Probe (два графика —)

Задание 5.1. Самостоятельно составьте модель и проведите моделирование следующей схемы с обратной связью (см. рисунок 1.12). Воспользуйтесь отображением результатов моделирования в режиме «Dynamic System Probe» с одним и двумя графиками. Параметры элементов для схемы на рисунке 1.12 приведены в таблице 2.

Рисунок 1.12 — Схема модели системы с обратной связью при воздействии полубесконечного импульса треугольной формы Входное воздействие — линейное напряжение, нарастающее на интервале от 0,5 с до 1,5 с и спадающее при t > 1,5 с — моделируется блоками 0, 5, 6, 7, 8 на рисунке 1.12.

Таблица 2- Параметры элементов для схемы рисунка 1.12

Блок 1 (Sin) — это нелинейный элемент, напряжение на выходе которого вычисляется по формуле y (t) = sin (x (t) + и), где x (t) — входное напряжение.

Постройте пару графиков в режиме «Dynamic System Probe» для процессов на выходе блоков 0 и 5; 7 и 6; 5 и 2; 5 и 3. Отметьте особенности этих графиков.

Задание 5.2. Самостоятельно составьте модель и проведите моделирование канала связи, реализованного схемой на рисунке 1.13. Воспользуйтесь отображением результатов моделирования в режиме «Dynamic System Probe» с одним и двумя графиками.

Параметры элементов для схемы на рисунке 1.13 приведены в таблице 3. Установите частоту моделирования, равной 10 кГц.

Рисунок 1.13- Схема модели канала связи Таблица 3- Параметры элементов для схемы рисунка 1.13

Задание 5.3. Проведите ряд экспериментов по определению влияния затухания сигнала в общем тракте (ослабление задается для блока 5) и числа разрядов квантователя (задается для блока 8) на качество восстановления сигнала. Постройте спектры колебаний во всех точках схемы и поясните особенности этих спектров.

Домашнее задание

1. Прочитайте настоящее описание лабораторной работы.

2. Зарисуйте ожидаемый вид сигналов на входе и выходах фильтров в экспериментах, соответствующих лабораторным заданиям 1 — 4.

3. Подготовьте ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы

1. Чем отличается написание программы в System View от программирования с помощью языков высокого уровня?

2. Чем отличается моделирование в System View от моделирования в Matlab?

3. Поясните порядок составления функциональной схемы системы или устройства в окне System.

4. Зачем при моделировании задавать частоту дискретизации (Sampling Rate) и количество отсчетов?

5. Как отмечается ошибка компиляции программы при неверно составленной схеме?

6. Что называют метасистемами в System View?

7. Поясните последовательность действий при составлении метасистемы.

8. За счет чего удается повысить скорость моделирования?

9. Как построить два графика в одном окне отображения результатов моделирования?

код дельта модулятор сигнал

Лабораторная работа № 2. Аналоговые системы связи

Цель работы: изучение аналоговых видов модуляции и моделирование аналоговых систем связи В системах аналоговой связи модулируют непрерывную амплитуду или частоту синусоидального несущего сигнала низкочастотным (baseband) информационным сигналом m (t).

Амплитудная модуляция (AM) была первой широковещательной технологией, разработанной в 1920;ых годах, продолженная частотной модуляцией (FM) в 1930;ых. Однополосная модуляция (SSB), эффективная по занимаемой полосе частот версия AM по сравнению с двойной боковой полосой (DSB-AM), использовалась для дальней телефонной связи, начиная с 1940;ых годов. Аналоговые методы модуляции просты в реализации и относительно устойчивы к шуму и интерференции.

1 Амплитудная модуляция (АМ)

AM с несущей и двойной боковой полосой (DSB-AM)

При амплитудной модуляции (AM) непрерывная амплитуда синусоидальной несущей частоты модулируется узкополосным информационным сигналом m (t), как дано уравнением 2.1.

В уравнении 2.1 Ac является амплитудой несущей частоты, ka является индексом амплитудной модуляции в V-1, и fc является несущей частотой. Для избежания перемодуляции, необходимо, чтобы | kam (t) |? 1 для всех t. Сигнал AM в уравнении 2.1 также называют AM с несущей и двойной боковой полосой (double sideband AM DSB-AM), потому что компонент несущей частоты присутствует, даже если m (t) = 0, а спектр имеет симметричные верхнюю и нижнюю боковые полосы.

В качестве модели используем схему, представленную на рисунке 1.7 к заданию 3.6 из лабораторной работы № 1. В качестве исходных данных используем таблицу для индивидуальных заданий в лабораторной работе № 1.

Полезный сигнал

.

Таким образом, схема на рисунке 7 лабораторной работы № 1 до полосового фильтра Баттерворта является моделью передатчика и канала связи аналоговой системы связи с «DSB-AM». Фильтр Баттерворта является входом приемника, осуществляющего прием и демодуляцию принятой передачи.

Для демодуляции передачи с «DSB-AM» может использоваться синхронный детектор (synchronous detector), в этом случае из уравнения 2.1, если fc = fo и нет фазового сдвига, выход демодулятора (модуль «Multiplier») описывается уравнением 2.2.

В уравнении 2.2, г — ослабление (затухание) канала связи и может быть принято равным нулю (г = 1). Из уравнения 2.2 следует, что спектральные компоненты sо (t) центрируются относительно частоты 2fc и нулевой частоты.

Нежелательный постоянный компонент гAcAo/2 и спектральные компоненты, центрированные относительно удвоенной частоты несущей 2fc на выходе демодулятора подавляются, будучи введенным в другой фильтр, который является 3-полюсным аналоговым полосовым фильтром Баттерворта с полосой пропускания, настроенным на полосу частот полезного сигнала.

В качестве демодулятора сигнала «DSB-AM» может использоваться простой некогерентный демодулятор, носящий в литературе название «crystal radio» и являющийся простейшим диодным детектором радиосигналов используемым на заре развития радиосвязи. Синхронный детектор заменяется в этой схеме полупериодным выпрямителем («Half Wave Rectifier») из библиотеки «Function Library».

Задание 1

По схеме рисунка 1.7 лабораторной работы № 1 построить модель системы передачи данных с «DSB-AM», получить спектры сигналов на выходах элементов схемы. Изменяя параметр «standard deviation» модуля «Gaussian Noise» оценить влияние уровня помех на качество передачи.

Изменяя частоту настройки синхронного детектора в пределах ±250 Гц от номинальной, оцените влияние настройки частоты на качество демодулированного сигнала, дайте обоснованное объяснение полученному результату.

Изменяя фазу колебания синхронного детектора (phase offset), оцените влияние изменения начальной фазы колебания синхронного детектора на качество демодулированного сигнала, дайте обоснованное объяснение полученному результату.

Замените синхронный детектор на полупериодный выпрямитель.

Оцените качество демодулированного сигнала.

Постройте модель системы связи для передачи речевых сигналов.

На рисунке 2.1 показано окно симуляции SystemVue аналоговой системы передачи с несущей и двумя боковыми полосами «DSB-AM». Модуль «Wave external file» из библиотеки «Source Library» вводит звуковой файл SVAudioIn. wav с разрешением 8 бит и выборкой 8 кГц, что соответствует скорости потока данных 64 кб/сек.

Параметры моделирования в окне «System Time»: «Sample Rate» устанавливается 800 kHz, что превышает скорость ввода 8 kHz .wav файла. «System Stop Time» устанавливается 620 msec, что соответствует длине записи и спектральное разрешение? f = 1.61 Hz. Выход «Wave external file» дополняется 99 выборками на входную выборку в спецификации параметра, чтобы повысить исходную частоту дискретизации 8 kHz фактором 100 к параметру системного времени «Sample Rate»: 800 kHz.

Выход модуля «Wave external file» подается на вход модуля «Polynomial» из библиотеки «Function Library», который масштабирует SVAudioIn. wav файл так, чтобы не происходило никаких искажений в модуляторе DSB-AM. Параметры модуля «Polynomial»: коэффициент x0 (offset) равен 0.08, x1 (linear) равен 0.02, а все остальные коэффициенты равны нулю.

Рисунок 2.1- DSB-AM аналоговая система связи с когерентным демодулятором Выход модуля «Polynomial» (3), являющийся узкополосным информа-ционным сигналом m (t), вводится в модулятор «DSB-AM» (4) из библиотеки «Communications Library», с параметрами: амплитуда несущей частоты Ac = 10 V, частота несущей fc = 25 kHz, индекс амплитудной модуляции ka = 1 и сдвиг по фазе (phase offset) 0°. Хотя индекс амплитудной модуляции и мог масштабировать входной сигнал, модуль «Polynominal» используется, чтобы удалить постоянное смещение в SVAudioIn. wav файле.

Канал связи представлен модулем «Adder» (5) и модулем «Gaussian Noise» (1) из библиотеки «Source Library» с начальными параметрами стандартное отклонение («standard deviation») у = 0 V и среднее значение («mean») м = 0 V. Выход модуля «Adder"(5) вводится в схему приемника «DSB-AM» начинающегося с фильтра, представленного модулем «Linear System Filter» (6). Используется 9-полюсный аналоговый полосовой фильтр Баттерворта (Butterworth analog bandpass filter (BPF)) с полосой пропускания от 17 kHz до 33 kHz. Частоты среза фильтра центрированы на ±8 kHz относительно несущей частоты 25 kHz и устанавливают полосу пропускания сигнала DSB-AM.

Выход модуля BPF (6) подается на один из входов модуля «Multiplier» (7), на другой вход которого подается синусоидальный сигнал с модуля «Sinusoid» (7) из библиотеки «Source Library». Параметры модуля «Sinusoid» (7): амплитуда Ao = 10 V, частота fo = 25 kHz, смещение по фазе (phase offset) 0°. Модуль «Multiplier» и модуль «Sinusoid» формируют синхронный детектор (synchronous detector) для когерентной демодуляции сигнала «DSB-AM».

Из уравнения 2.2 следует, что спектральные компоненты sо (t) центрируются относительно частоты 2 fc = 50 kHz и нулевой частоты.

Рисунок 2.2- Спектральная плотность мощности на выходе синхронного демодулятора сигнала DSB-AM

Нежелательный постоянный компонент гAcAo/2 и спектральные компоненты, центрированные относительно частоты 50 kHz на выходе демодулятора подавляются, будучи введенным в другой фильтр, который является 9-полюсным аналоговым полосовым фильтром Баттерворта (8) с полосой пропускания от 80 Hz до 8 kHz.

Выход фильтра (8) подается на вход модуля «Polynomial» (9) с параметрами: линейный коэффициент x1 (linear) равен 2.5, а все другие коэффициенты равны нулю, чтобы повторно масштабировать восстановленный «wav» файл. Выход модуля «Polynomial» (9) вводится в модуль «Decimator» из библиотеки «Operator Library», с фактором децимации 100, чтобы восстановить исходную скорость выборки 8 kHz .wav файла из Системного Времени: Sample Rate 800 кГц.

На рисунке 2.3 показано окно моделирования системы связи с DSB-AM после завершения симуляции. По умолчанию автоматически вызывается аудиоплеер Windows и можно прослушать вводимый SVAudioIn. wav и выводимый SVAudioOut. wav файл. Первоначально шум не добавляется к каналу передачи, но установка некоторого, даже незначительного (1V), среднеквадратичного отклонения у модуля «Gaussian Noise» приводит к заметному ухудшению принятого аудиосигнала.

Рисунок 2.3 — Окно моделирования аналоговой системы связи DSB-AM с Windows аудиоплеер Оцените влияние шума в канале связи на качество демодулированного сигнала.

Оцените влияние расстройки синхронного демодулятора на качество принятого речевого сообщения.

Замените в схеме (см. рисунок 2.1) синхронный демодулятор на диодный детектор. Сравните результаты с полученными в п. 1.5.

Для всех пунктов задания 1 должны быть построены спектры сигналов в характерных точках схемы.

Балансная амплитудная модуляция. Двухполосная амплитудная модуляция с подавленной несущей (analog double sideband suppressed carrier (DSB-SC))

При балансной амплитудной модуляции (AM) непрерывная амплитуда синусоидальной несущей частоты модулируется узкополосным информационным сигналом m (t), как дано уравнением 2.3.

В уравнении 2.3, Ac является амплитудой несущей частоты, ka является индексом амплитудной модуляции в V-1, и fc является несущей частотой. Для избежания перемодуляции, необходимо, чтобы | kam (t) |? 1 для всех t. Как следует из уравнения 2.3 в спектре модулированного сигнала отсутствует спектральная составляющая несущей частоты.

Когерентная демодуляция осуществляется с помощью синхронного детектора в соответствии с уравнением 2.4.

Задание 2

По уравнениям 2.3 и 2.4 нужно построить модель аналоговой системы связи с двухполосной АМ с подавленной несущей (DSB-SC).

Варианты задания взять из лабораторной работы № 1.

Получить спектры сигналов на выходах элементов схемы. Изменяя параметр «standard deviation» модуля «Gaussian Noise» оценить влияние уровня помех на качество передачи.

Изменяя частоту настройки синхронного детектора в пределах ±250 Гц от номинальной, оцените влияние расстройки частоты на качество демодулированного сигнала, дайте обоснованное объяснение полученному результату.

Изменяя фазу колебания синхронного детектора (phase offset), оцените влияние изменения начальной фазы колебания синхронного детектора на качество демодулированного сигнала, дайте обоснованное объяснение полученному результату.

Постройте модель системы связи для передачи речевых сигналов в системе «DSB-SC».

В качестве входного полезного сигнала использовать тот же звуковой файл. В качестве модулятора использовать модуль «Multiplier», на один из входов которого подается полезный сигнал, а на другой сигнал несущей частоты. Схема приемной части с синхронным детектором не изменяется.

Получите спектры сигналов на выходах элементов схемы, изменяя параметр «standard deviation» модуля «Gaussian Noise» оцените влияние уровня помех на качество передачи звука. Изменяя значение частоты fo синхронного детектора, оцените влияния расстройки приемника на качество звука принимаемого аудиофайла.

Однополосная амплитудная модуляция с подавленной несущей (Single Sideband Suppressed Carrier (SSB-SC)).

При однополосной амплитудной модуляции (AM) непрерывная амплитуда синусоидальной несущей частоты модулируется узкополосным информационным сигналом m (t), как дано уравнением 2.5.

Здесь и — синфазная и квадратурная составляющая полезного сигнала, — несущая частота, — амплитуда несущего колебания.

SSB-SC сигнал может быть демодулирован только лишь с помощью синхронного детектора. Другими словами SSB-SC сигнал может быть демодулирован умножением на сигнал несущей частоты cos (2рfct):

Для верхней боковой полосы выражение демодулированного сигнала приведено в уравнении 2.6.

Схема реализующая однополосный модулятор и демодулятор показана (см. рисунок 2.4).

SSB Modulator SSB Demodulator

Рисунок 2.4 — Схема однополосного модулятора Информационный сигнал (в данном случае синусоидальный) поступает на один вход устройства умножения, на другой вход которого подается синфазная составляющая несущей частоты .

Информационный сигнал также подается на фазовращающую цепь для получения квадратурной составляющей полезного сигнала. Фазовращающая цепь осуществляет сдвиг по фазе на -90° исходный сигнал. С выхода фазовращающей цепи сигнал поступает на вход второго устройства умножения, на другой вход которого подается квадратурная составляющая несущей частоты .

Далее синфазная и квадратурная составляющая суммируются со знаком «+» для получения модулированного сигнала на нижней боковой полосе или со знаком «» для верхней боковой полосы и поступают в канал связи.

Демодуляция осуществляется синхронным детектором, то есть умножением «SSB-SC» сигнала на сигнал. После демодулятора должен стоять низкочастотный фильтр, настроенный на полосу информационного сигнала.

Для реализации фазовращающей цепи используется преобразование Гильберта.

Задание 3

По уравнениям 2.5 и 2.6 построить модель аналоговой системы связи с однополосной АМ с подавленной несущей (SSB-SC). В качестве входного полезного сигнала использовать сумму синусоидальных сигналов с частотами 350 Hz, 1000 Hz, 3300 Hz и амплитудами 0.5 V, 2.0 V и 1.5 V соответственно. Просмотреть спектры передаваемых модулированных сигналов. Объяснить результаты.

По уравнениям 2.5 и 2.6 построить модель аналоговой системы связи с однополосной АМ с подавленной несущей (SSB-SC). В качестве входного полезного сигнала использовать тот же звуковой файл. В качестве фазовращающего устройства для информационного сигнала использовать преобразователь Гильберта из библиотеки «Operator Library» раздел «Linear Sys Filters». Модель построить для системы передачи как по верхней, так и по нижней боковой полосе. Схема приемной части с синхронным детектором не изменяется. Параметры системного времени оставить такие же, как и в предыдущих моделях, использующих звуковой файл в качестве источника входного сигнала.

Квадратурное мультиплексирование.

Квадратурное мультиплексирование демонстрирует, как два сигнала могут быть переданы по одному и тому же носителю, используя единственную несущую частоту.

Рисунок 2.5- Структурная схема квадратурного мультиплексора Рисунок 2.6

Генерируйте два сигнала. Один с частотой 50 Гц и другой с частотой 1 кГц. Модулируйте один с синусоидальным колебанием частоты 20 кГц и другого с косинусоидальным той же самой частоты как показано выше на рисунке 2.6.

Суммируйте эти два модулированных сигнала и демодулируйте их, умножая на синусоидальные и косинусоидальные сигналы с той же самой частотой, что и несущие сигналы.

После этого поставьте фильтры низкой частоты (LPF) на выход каждого множителя и убедитесь, что Вы получаете исходные сигналы. Отметьте, что эти сигналы ослабляются.

Теперь введите сдвиг по фазе в демодулирующие сигналы. Что происходит, если Вы увеличиваете сдвиг по фазе от 0 до 90 градусов? Используйте аналитическое окно и масштабируйте функцию, какое название дано этому явлению?

Частотная модуляция.

При частотной модуляции (FM) информационный сигнал m (t) модулирует непрерывную частоту синусоидальной несущей, как дано в уравнении 2.7.

В уравнении 2.7 Ac — амплитуда несущей, kf — индекс модуляции или фактор девиации частоты (крутизна частотной характеристики) в Hz/V, fc — несущая частота. Узкополосный информационный сигнал m (t) интегрируется, начиная с мгновенной частоты fi Hz сигнала, определяется как производная по времени изменяющегося во времени угла синусоиды, как дано уравнением 2.8.

Задание 5

По схеме (см. рисунок 2.7) построить модель системы передачи данных с FM модуляцией, получить спектры сигналов на выходах элементов схемы, изменяя параметр «standard deviation» модуля «Gaussian Noise», оценить влияние уровня помех на качество передачи звука.

Сделать выводы о помехозащищенности системы передачи с FM модуляцией по сравнению с АМ модуляцией.

На рисунке 2.7 показано окно симуляции SystemVue аналоговой системы передачи с частотной модуляцией (FM). Модуль «Wave external file» из библиотеки «Source Library» вводит звуковой файл SVAudioIn. wav с разрешением 8 бит и выборкой 8 кГц, что соответствует скорости потока данных 64 кб/сек.

Рисунок 2.7- ЧМ (FM) аналоговая система связи Параметры моделирования в окне «System Time»: «Sample Rate» устанавливается 240 kHz, что превышает скорость ввода 8 kHz .wav файла. «System Stop Time» устанавливается 620 msec, что соответствует длине записи и спектральное разрешение? f = 1.61 Hz. Выход «Wave external file» дополняется 29 выборками на входную выборку в спецификации параметра, чтобы повысить исходную частоту дискретизации 8 kHz фактором 30 к параметру системного времени «Sample Rate»: 240 kHz.

Выход модуля «Wave external file» подается на вход модуля «Linear System Filter» из библиотеки «Operator Library», который представляет из себя полосовой фильтр Баттерворта (BPF) с полосой пропускания от 50 Hz до 5 kHz. Использование BPF является альтернативным методом для удаления нежелательного постоянного смещения в звуковом файле SVAudioIn.wav. Выход BPF поступает на вход модуля «Decimator» из «Operator Library» и на модуль «Frequency Modulator» из «Function Library».

Модуль «Decimator» имеет параметр децимации 10 для обеспечения скорости выборки 24 kHz записываемого выходного аудиофайла SVAudioOut2.wav. Модуль «Frequency Modulator» имеет следующие параметры: амплитуда несущей Ac = 5 V, частота несущей fc = 25 kHz, фактор девиации частоты kf = 25 Hz/V и 0° фазовое смещение (phase offset).

Канал связи моделируется также, как и для системы DSB-AM. Демодулятор (модуль PLL) используется из стандартной библиотеки. Параметры модуля PLL: центральная частота VCO (voltage controlled oscillator-генератор, управляемый напряжением) fVCO = 25 kHz, фаза VCO равна 0°, фактор девиации частоты 25 Hz/V, полоса пропускания низкочастотного фильтра 10 kHz, и оба коэффициента контурного фильтра устанавливаются на нуль. Описание работы модуля «PLL» можно найти в руководствах по SystemVue. На выходе модуля «PLL» имеем демодулированный аналоговый сигнал, который поступает на модуль «Decimator». Параметр децимации равен 10. С выхода модуля «Decimator» сигнал поступает на усилитель (модуль «Gain» с линейным усилением, равным 10. Далее осуществляется запись демодулированного сигнала в выходной аудиофайл SVAudioOut. wav, который можно воспроизвести.

Первоначально никакой шум не добавляется к каналу передачи, но установка среднеквадратичного отклонения у=1V модуля «Gaussian Noise» производит небольшое ухудшение полученного аудиосигнала. Спецификации параметров модуля «PLL» включают возможность ограничения амплитуды сигнала на входе, что улучшает качество демодулируемого сигнала при наличии помех в канале связи.

Построить модель аналоговой системы связи с FM модуляцией, в которой в качестве входного полезного сигнала использовать сумму синусоидальных сигналов с частотами 350 Hz, 1000 Hz, 3300 Hz и амплитудами 0.5 V, 2.0 V и 1.5 V соответственно. Модуль «Frequency Modulator» имеет следующие параметры: амплитуда несущей Ac = 5 V, частота несущей fc = значению частоты несущей из лабораторной работы № 1, фактор девиации частоты kf = 250 Hz/V и 0° фазовое смещение (phase offset). Параметры модуля PLL: центральная частота VCO (voltage controlled oscillator-генератор, управляемый напряжением) fVCO = значению частоты несущей из лабораторной работы № 1, фаза VCO равна 0°, фактор девиации частоты 250 Hz/V, полоса пропускания низкочастотного фильтра 4.5 kHz, и оба коэффициента контурного фильтра устанавливаются на нуль. Просмотреть спектры передаваемых модулированных сигналов. Объяснить результаты. Сравнить с аналогичными результатами для аналоговой системы связи с однополосной АМ с подавленной несущей (SSB-SC).

Контрольные вопросы

1. Объясните назначение элементов каждой схемы?

2. Объясните отличие передачи «DSB-SC» от «SSB-SC»

3. Выведите теоретическое выражения для спектров рассматриваемых видов передач. Сравните вид теоретического спектра с полученным в результате моделирования. Поясните результат.

4. Почему нельзя использовать простой детектор для демодуляции передачи баланской модуляцией.

5. Объясните, почему при синхронном детектировании частота демодулятора должна в точности совпадать несущей частотой сигнала.

6. Выведите теоретические выражения для спектров ЧМ и ФМ передач объясните сходство и различие этих спектров.

7. Объясните отличие схемы квадратурного мультиплексирования от схем «DSB-SC». Чем отличается спектр с выхода квадратурного мультиплексора от спектра с выхода модуляторов АМ?

Лабораторная работа № 3. Дискретизация низкочастотных аналоговых сигналов. Компандирование. Дельта модулятор

Цель работы: изучение различных методов аналого-цифрового преобразования сигналов.

Аналоговыми источниками информации часто являются сигналы различных датчиков, которые с помощью преобразователей обеспечивают выдачу непрерывного электрического (обычного) сигнала напряжения или тока. Эти аналоговые низкочастотные сигналы ограничены по амплитуде и максимальной частоте. Аналоговые низкочастотные сигналы являются модулирующими источниками информации, которые передаются по каналу передачи на существенно более высокой частоте. Аналоговые низкочастотные сигналы непрерывны по времени и амплитуде, и обычно осуществляют их дискретизацию (sampling) и квантование (quantization) для цифровой обработки сигналов, а также для передачи по цифровым каналам связи.

Под дискретизацией подразумевают, преобразование функции непрерывного времени в функцию дискретного времени, представляемую совокупностью величин, называемых координатами, по значениям которых исходная непрерывная функция может быть восстановлена с заданной точностью. Роль координат часто выполняют мгновенные значения функции, отсчитанные в определенные моменты времени.

Под квантованием подразумевают преобразование некоторой величины с непрерывной шкалой значений в величину, имеющую дискретную шкалу значений. Оно сводится к замене любого мгновенного значения одним из конечного множества разрешенных значений, называемых уровнями квантования.

Предварительно установленные значения равномерно распределены на интервале квантования при равномерном квантовании (uniform quantization), и общее количество битов являются разрешением системы. В неравномерном квантовании (nonuniform quantization) предварительно установленные значения не равномерно распределены на интервале квантования и разрешение изменяется.

Неравномерное квантование часто используется, чтобы улучшить качество восприятия дискретизированного речевого сигнала, где нелинейное сжатие используется в передатчике, и нелинейное расширение используется в приемнике. Процедура для нелинейного сжатия и расширения сигнала носит название компандирования (companding).

1 Дискретизация (sampling) низкочастотных (baseband) аналоговых сигналов Периодический низкочастотный аналоговый сигнал может быть представлен как сумма синусоид, у которых будет дискретный (или линейчатый (line)) спектр напряжения и предел по полосе частот. Интервал дискретизации модели SystemVue устанавливается произвольно высоким по отношению к аппроксимируемому аналоговому сигналу. На рисунке 3.1 показан периодический источник низкочастотного сигнала, идеальное устройство дискретизации, устройство дискретизации с запоминанием значения, дискретный аналого-цифровой преобразователь (ADC) и цифро-аналоговый преобразователь (DAC), непрерывный квантователь. Источник формируется комбинацией трех модулей «Sinusoid» из библиотеки «Source Library» с параметрами: амплитуды и частоты на 500 Гц, 0.5 V на 1.5 кГц и 0.2 V на 2.5 кГц. Параметр System Sampling Rate устанавливается в 5 МГц или Tsystem = 0.2 µsec, который в 2000 раз выше, чем самая высокая частота в периодическом низкочастотном источнике. Это известно как сверхдискретизация (oversampling).

Модуль «Adder» (сумматор) суммирует выходы от трех модулей «Sinusoid», чтобы сформировать составной узкополосный сигнал, как показано на рисунке 6.1. Составной узкополосный сигнал имеет основной период 2 мс или основную частоту 500 Гц. У других двух синусоид частоты (1.5 кГц и 2.5 кГц) являются целочисленными кратными значениями основной частоты. Суммарная пиковая амплитуда — приблизительно 1.15 V в момент t=0.166 мс.

Рисунок 3.1

Периодический узкополосный источник аналогового сигнала, идеальный дискретизатор, дискретизатор с запоминанием выборки, DAC, ADC и непрерывный квантователь.

Установка системного времени: Number of Samples =4 194 304 (222) точки приводит к спектральной разрешающей способности 1.19 Гц. Получите нормализованную (RL = 1 Щ) спектральную плотность мощности (PSD) выхода сумматора («Adder»). Убедитесь, что спектр имеет дискретные спектральные компоненты этих трех синусоид в 500 Гц, 1.5 кГц, и 2.5 кГц очевидны. Однако, PSD не является точным линейчатым спектрам, из-за его вычисления в SystemVue как дискретное (а не непрерывное) преобразование Фурье (DFT-digital Fourier transform).

Модуль «Multiplier» (множитель) идеально обрабатывает периодический низкочастотный аналоговый сигнал и производит единственную выборку в дискретные моменты времени. Другой вход модуля «Multiplier» обеспечивается модулем «Pulse Train» из библиотеки «Source Library» с параметрами импульсов: амплитуда = 1 V, частота fo = 8 kHz, длительность импульса = 2 µсек (Системное Время, Tsystem), 0 V и 0° смещение по напряжению и фазе. Частота дискретизации fs составляет 8 kHz.

Модуль «Sample и Hold» из библиотеки «Operator Library» обрабатывает периодический низкочастотный аналоговый сигнал и производит непрерывную амплитудную выборку в дискретные интервалы времени. Вход управляющего напряжения модуля «Sample и Hold» обеспечивается модулем «Pulse Train».

Получите на графиках наложение периодического низкочастотного сигнала и сигнала непрерывной амплитудной выборки с модуля «Sample и Hold». Оцените ошибку дискретизации и квантования для данной схемы.

Идеальная работа выборки может быть описана как умножение низкочастотного аналогового сигнала x (t) на периодическую последовательность единичных импульсов f (t, nTs), где Ts является интервалом дискретизации. Идеальный процесс выборки дается уравнением Спектральная плотность мощности (PSD) операции идеальной дискретизации (sampling) дана уравнением 3.2.

X (f) — преобразование Фурье низкочастотного аналогового сигнала x (t), частота дискретизации fs = 1/Ts = 8 кГц. Нормализованная спектральная плотность мощности (PSD) x (t) равна | X (f) |2. Получите спектр PSD идеальной выборки модуля «Multiplier» из схемы (см. рисунок 3.1).

Убедитесь, что односторонняя PSD устройства идеальной дискретизации показывает три дискретных линейчатых спектра в 500 Гц, 1.5 кГц и 2.5 кГц. Эти линейчатые спектры центрируются относительно 0 Гц (k = 0), а периодические повторения шести дискретных линейчатых спектров центрируются относительно центральной частоты kЧ8 кГц (k = 1, 2, 3 …), и располагаются на ±500 Гц, ±1.5 кГц и ±2.5 кГц относительно центральной частоты.

Непрерывная амплитудная выборка — процесс первого порядка, описанный уравнением 3.3.

Из уравнений 3.1 и 3.3, спектральная плотность мощности PSDs-h выборки дается уравнением 3.4.