Дифференциальные уравнения движения механической системы

Дифференциальные уравнения движения механической системы

1.Введение

2.Основные динамические величины системы

2.1 Количество движения системы

2.2 Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы

2.3 Кинетическая энергия системы

3.Общие замечания о теоремах и законах динамики

3.1 Теорема об изменении количества движения

3.2 Теорема об изменении кинетического момента

3.3 Теорема об изменении кинетической энергии

4.Дифференциальные уравнения движения системы

5.Список литературы

1.

Введение

Дисциплина, в рамках которой, я подготовил данную работу, называется «Теоретическая механика». Поэтому начну с определения термина механика. Впервые термин механика человечество «услышало» от Аристотеля. Тогда он подразумевал под этим словом некое сооружение, машину. С тех пор прошло около 2400 лет, и теперь можно выстроить чёткую иерархию математических наук, как, например, это сделал П. Аппель (1855−1930): «Среди математических наук первой является наука о вычислениях, которая основывается на единственном понятии о числе и к которой стремятся свести все остальные науки. Затем следует геометрия, которая вводит новое понятие — понятие о пространстве. В геометрии рассматриваются точки, описывающие линии, линии, описывающие поверхности, и т, д, но в ней никоим образом не касаются времени, в течение которого осуществляются эти движения. Если ввести понятие времени, то получится более сложная наука, называемая кинематикой, которая изучает геометрические свойства движений в их соотношениях во времени, но в которой не касаются физических причин движения. Этим последним вопросом занимается механика. Необходимо, однако, заметить, что механика не раскрывает действительных причин физических явлений и довольствуется заменой их некоторыми абстрактными причинами, называемыми силами и способными вызвать тот же механический эффект» .

То есть механика — «наука, охватывающая математические методы описания механических движений». И тут мы вплотную подходим к теме моей работы: «Дифференциальные уравнения движения механической системы» .

2. Основные динамические величины системы

2.1 Количество движения системы Количеством движения механической системы называется вектор:

то есть количество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость ее центра масс.

2.2 Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно центра, А называется величина:

где — радиус-вектор точки системы относительно её центра ()

Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) системы относительно оси называется проекция на эту ось главного момента количеств движения системы относительно любого выбранного на данной оси центра. движение кинетический энергия При изменении центра кинетический момент изменяется.

2.3 Кинетическая энергия системы Кинетической энергией системы называется величина Т. определяемая по формуле:

При вычислении кинетической энергии очень часто используется следующее утверждение.

Теорема Кёнига. Кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка, расположенная в центре масс, системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

3. Общие замечания о теоремах и законах динамики Рассмотрим движение системы материальных точек

()

в некоторой инерциальной системе координат. Пусть — масса точки, а — радиус-вектор относительно начала координат. Если система несвободна, то ее можно рассматривать как свободную, если помимо активных сил, приложенных к точкам системы, учесть реакции связей. Если затем все силы, приложенные к системе, разбить на внешние и внутренние, то из аксиом Ньютона получим дифференциальные уравнения движения рассматриваемой механической системы в виде:

() (1)

где — ускорение точки в инерциальной системе отсчета, а и — соответственно равнодействующие всех внешних и внутренних сил системы, приложенных к точке

Для исследования движения надо при заданных начальных условиях проинтегрировать систему уравнений (1) и найти зависимость от времени. Это в большинстве случаев невозможно, особенно если число уравнений (1) велико.

Однако при практическом исследовании движения очень часто нет необходимости изучать систему (1), а достаточно знать изменение со временем некоторых величин, общих для всей материальной системы и являющихся функциями координат и скоростей точек системы (и, быть может, времени). Если такая функция при движении системы остается постоянной, то она называется первым интегралом уравнений движения (1). Использование первых интегралов позволяет упростить задачу исследования движения системы, а иногда и решить ее до конца.

Самый распространенный прием получения первых интегралов уравнений (1) основан на изучении поведения основных динамических величин системы: количества движения, кинетического момента, кинетической энергии. Изменение этих величин во времени описывается основными теоремами динамики, являющимися непосредственными следствиями уравнений (1). Утверждения, описывающие условия, при которых некоторые из основных динамических величин остаются постоянными, называются законами сохранения.

3.1 Теорема об изменении количества движения Сложив почленно уравнения (1), получим

(2)

Первая сумма в правой части равенства (2) равна главному вектору внешних сил системы, а вторая сумма равна нулю, так как по третьему закону Ньютона внутренние силы попарно равны и противоположны. Принимая во внимание постоянство массы каждой из точек системы, равенство (2) можно записать в виде

(3)

Это равенство выражает теорему об изменении количества движения системы: производная по времени от количества движения системы равна главному вектору всех внешних сил системы.

Эту теорему можно представить в интегральной форме. Проинтегрировав обе части равенства (3) от до получим:

(4)

Интеграл в правой части формулы (4) называется импульсом внешних сил системы за время. Таким образом, приращение количества движения за конечное время равно импульсу внешних сил за это время.

Дифференциальной форме теоремы об изменении количества движения можно придать другую формулировку. Так как:

где — масса системы, а — скорость центра масс То формула (3) с учетом постоянства массы может быть представлена в виде равенства:

(5)

Это равенство означает, что центр масс системы движется так же, как двигалась бы материальная точка, масса которой равнялась бы массе системы, под действием силы, равной главному вектору всех внешних сил системы. Это утверждение называют теоремой о движении центра масс (центра инерции).

Бели система замкнута, то и из (3) следует закон сохранения количества движения: при движении замкнутой системы ее количество движения постоянно. На основании равенства (5) закон сохранения количества движения можно сформулировать еще так: скорость центра масс замкнутой системы постоянна. Ясно, что эти утверждения справедливы и для системы, не являющейся замкнутой, если только во все время движения.

Проектируя вектор на оси координат, получаем из закона сохранения количества движения три первых интеграла:

;; ;

Или

;; .

где, ,, , , — проекции на оси, , соответственно количества движения и скорости центра масс системы, а, () — произвольные постоянные Если проекция главного вектора внешних сил на какую-нибудь одну ось, например на ось, равна нулю, то имеем один первый интеграл

или

3.2 Теорема об изменении кинетического момента Пусть скорость точки системы в инерциальной системе отсчета, а — ее радиус-вектор относительно начала координат. Возьмем произвольную точку пространства, которая может и не совпадать с какой-либо материальной точкой системы во все время движения. Точка может быть неподвижной, а может совершать произвольное движение; обозначим её скорость в выбранной инерциальной системе отсчета. Пусть — радиус-вектор точки, относительно точки. Тогда кинетический момент системы относительно точки вычисляется по формуле:

(6)

Продифференцировав обе части равенства (6) по времени и воспользовавшись постоянством величин и уравнениями (1), получим Последняя сумма в этом равенстве равна главному моменту внешних сил относительно точки. Учитывая еще, что, А также что Получаем Таким образом

(7)

Если точка неподвижна, то во всё время движения системы и уравнение (7), выражающее теорему об изменении кинетического момента относительно произвольно движущегося центра, принимает следующую часто встречающуюся форму:

(8)

Уравнение (8) представляет собой теорему об изменении кинетического момента для неподвижного центра: производная по времени от кинетического момента системы, относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно этого центра. Эту теорему можно представить в интегральной форме. Проинтегрировав обе части равенства (8) от до получим:

(9)

Интеграл в правой части этой формулы называется импульсом моментов внешних сил за время. Таким образом, приращение вектора кинетического момента системы относительно неподвижного центра за конечное время равно импульсу моментов внешних сил относительно этого центра за это время.

Если система замкнута, то и из равенства (8) следует закон сохранения кинетического момента: при движении замкнутой системы ее кинетический момент относительно любого неподвижного центра постоянен:

(10)

Если, , — проекции вектора на соответствующие оси координат, то из (10) следуют три первых интеграла:

, ,

где () — произвольные постоянные Эти интегралы существуют не только в случае замкнутой системы, но и тогда, когда система не замкнута, но для некоторого неподвижного центра во все время движения.

Отмстим еще, что если во все время движения, то интеграл (10) существует не только когда центр неподвижен, но и в более общем случае, когда во все время движения радиусы-векторы и точки и центра масс системы относительно начала координат связаны соотношением, где скалярная величина и вектор постоянны. Действительно, в этом случае и первое слагаемое в правой части равенства (7) тождественно равно нулю. Поэтому при существует интеграл (10).

Рассмотренный выше случай неподвижного центра получается отсюда при. Если же и, то и уравнение (7) примет вид

(11)

откуда следует, что теорема об изменении кинетического момента системы для неподвижного центра и для центра масс имеют одинаковый вид: в левой части уравнения стоит производная от кинетического момента относительно точки (или), а в правой — главный момент внешних сил относительно этой точки. Отметим, что абсолютный кинетический момент системы относительно центра масс в левой части уравнения (11) можно заменить на равный ему кинетический момент системы в её движении относительно центра масс.

Пусть — некоторая неизменная ось или ось неизменного направления, проходящая через центр масс системы. Для кинетического момента системы относительно этой оси из (8) и (11) следует дифференциальное уравнение

(12)

где — главный момент внешних сил относительно оси. Если он во все время движения равен нулю, то имеем первый интеграл

(13)

Последний вывод допускает обобщение. Именно, справедливо следующее утверждение. Пусть во все время движения. Тогда для существования первого интеграла (13) необходимо и достаточно, чтобы проекции скорости центра масс системы и скорости какой-нибудь точки оси и на плоскость, перпендикулярную этой оси, были во всё время движения параллельны. Действительно, пусть — единичный вектор, направленный вдоль оси. Умножая обе части равенства (7) скалярно на вектор и учитывая его постоянство по величине и направлению, получаем, Но, , поэтому последнее равенство можно переписать в виде:

Если, то величина будет постоянной тогда и только тогда, когда

.

Если за направление оси принять направление оси, то последнее условие эквивалентно тождеству:

означающему параллельность проекций скоростей точек и на плоскость, перпендикулярную оси, что и требовалось доказать.

3.3 Теорема об изменении кинетической энергии Пусть точки системы переместились так, что их радиусы-векторы в инерциальной системе отсчета получили приращении. Найдем, как при этом изменилась кинетическая энергия системы. Так как:

то для дифференциала кинетической энергии имеем такое выражение:

Принимая во внимание дифференциальные уравнения (1), перепишем последнее равенство в виде:

Таким образом:

(14)

Последнее равенство выражает теорему об изменении кинетической энергии системы: дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил системы.

Подчеркнем, что в отличие от двух рассмотренных выше основных теорем динамики, в теореме об изменении кинетической энергии речь идет о всех силах системы: как внешних, так и внутренних. Тот факт, что силы, с которыми взаимодействуют две точки системы, равны по величине и противоположно направлены, не приводит к равенству нулю работы внутренних сил системы, так как при подсчете работы важны и перемещения точек, а они у двух взаимодействующих точек не обязательно одинаковы. Для твердого тела работа внутренних сил равна нулю, поэтому для него равенство (14) принимает более простой вид

(15)

Проинтегрировав обе части равенства (14) от до, получим интегральную форму теоремы об изменении кинетической энергии

(16)

т. е. приращение кинетической энергии системы за конечное время равно работе всех сил системы, за то же время.

Пусть все силы системы (внешние и внутренние) потенциальны и их потенциал не зависит явно от времени. В этом случае элементарная работа сил системы будет полным дифференциалом

(17)

Из (17) и (14) следует, что тогда .

Сумма кинетической и потенциальной энергий называется полной механической энергией системы. Из последнего равенства следует, что

(18)

т. е. если все силы системы, потенциальны и потенциал не зависит от времени, то при движении, системы ее полная механическая энергия постоянна. Это — закон сохранения механической энергии. Равенство (18) называется интегралом энергии.

Следует иметь в виду, что для справедливости закона сохранения механической энергии требование о том, чтобы все силы системы были потенциальными, не обязательно. Достаточно потребовать, чтобы потенциальными были силы, работа которых на действительном перемещении системы отлична от нуля. Например, работа реакций стационарных идеальных связей равна нулю, и если остальные силы системы потенциальны и потенциал не зависит явно от времени, то для такой системы справедлив закон сохранения механической энергии.

4. Дифференциальные уравнения движения системы Рассмотрим пример интегрирования системы для простейшего случая, когда .

Пусть груз массой на пружине с жесткостью совершает колебания в вертикальном направлении под действием вынуждающей силы, проекция которой на ось :

Определить, при каких условиях эти колебания можно погасить за счет крепления к первому грузу второго с массой через пружину с жесткостью .

Учитываем силы, действующие на обе массы за счет удлинения пружин, отсчитываемого от положения статического равновесия каждого груза.

Тогда первый груз движется под действием силы упругости пружины с коэффициентом жесткости, пружины с коэффициентом жесткости, расположенной между телами, и вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение движения первого груза в проекции на ось имеет вид:

Второй груз движется только под действием пружины с коэффициентом жесткости, и дифференциальное уравнение движения его будет иметь вид:

Решать эту систему уравнений нужно совместно. При этом нас интересует случай гашения колебаний первого груза, т. е. условия, когда. При выполнении этого условия уравнения движения принимают вид:

Из первого уравнения выражаем, дважды дифференцируем и подставляем во второе. После сокращения получим:

Это и есть условие гашения колебаний — его можно выполнить, подбирая либо массу, либо жесткость пружины, либо то и другое. При этом слишком малое значение массы (из требования минимума дополнительного веса) может привести к малому, а это даст очень большую амплитуду колебаний дополнительной массы.

Решение такого рода задач при количестве масс, как отмечено выше, возможно только в некоторых исключительных случаях. Поэтому далее рассматриваем движения системы как некоторого целого образования, так что определим закон движения центра масс системы.

Возьмем за основу систему уравнений (1) и почленно сложим ее левые и правые части — получим уравнение (2).

Формула радиуса-вектора центра масс имеет вид:

Беря вторую производную от обеих частей этого равенства, получим в уравнении (2):

Запишем теорему о движении центра масс системы:

Проектируя это уравнение на оси системы координат, получим:

,

5. Список литературы

1. Аппель П., Теоретическая механика. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960;

2. Люкшин Б. А., Теоретическая механика: Учебное пособие. Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2004;

3. Маркеев А. П., Теоретическая механика: Учебник для университетов. Москва: ЧеРо, 1999.