Дифференциальные уравнения и передаточные функции линейных непрерывных систем автоматического регулирования

Лекция 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

1. Математический аппарат при анализе непрерывных САР. Понятие оператора Простейшим математическим понятием является число, выражающее количественно величину параметра либо воздействия.

Более широким понятием является числовая ось, на которой расположено бесконечное множество чисел (рис. 2.1). На отрезках AB и A₁B₁ также расположено бесконечное число точек. В таких случаях говорят, что множество AB шире множества A₁B₁. Сами эти множества, закон пересчета чисел которых неизвестен, называют континуальными. Когда удается указать закон пересчета чисел, множество называют счетным. Если все точки множества можно пересчитать, то множество называют конечным.

На практике инженерам приходится иметь дело именно с континуальными множествами чисел, которые могут отражать диапазон изменения некоторого воздействия (управляющего или возмущающего) или какого-либо параметра.

Уточним понятие функции. Функцией называется всякое соответствие между точками одного множества и точками другого множества (каждой точке одного множества соответствует точка другого множества). Например (рис. 2.2а), если заданы множества чисел и, и функция, то в этом случае говорят, что функция f определена (задана) на множестве U со значениями на множестве X.

Функция в инженерном сознании ассоциируется с безынерционными звеньями (рис. 2.2б), реализующими требуемую функциональную зависимость.

Функционалом называется всякое соответствие между функциями одного множества и точками другого множества (каждой функции соответствует точка). Функционалы задаются на множестве функций. Типичный пример функционала:

где f (x) — некоторая заданная функция; - варьируемое количество элементарных участков интегрирования.

Другой пример — если известна функция двух переменных, то можно построить функционалы типа при разных значениях аргумента x и фиксированном .

В ТАУ функционалы используются при построении оптимальных САУ для определения требуемого соотношения между параметрами САР.

Всякое соответствие между функциями одного множества (X) и функциями другого множества (Y) называется оператором. Например (рис. 2.3а), пусть A — оператор, отражающий коэффициент передачи (усиления) некоторого устройства (). Тогда оператор A связывает все входные функции x (t) с выходными y (t), воздействуя на входной сигнал (в нашем примере — умножая его в каждый момент времени на коэффициент k — усиливая его). Такое звено в результате формирует выходную функцию y (t), отличающуюся от входной x (t) на постоянный множитель (рис. 2.3б).

Понятие оператора широко используется в ТАУ. Наиболее широко используемыми являются операторы дифференцирования и интегрирования (определения неопределенного интеграла).

В частности, если оператор

A=TD,

где — символ (оператор) дифференцирования по времени, T — некоторая постоянная времени [c], то воздействие оператора на некоторую входную функцию x (t) дает выходную функцию

.

То есть, результатом использования оператора TD есть то, что он, воздействуя на входной сигнал x (t), выдает производную от этого сигнала по времени в каждый момент t, помноженную на коэффициент T (рис. 2.4).

Обратный оператор соответствует интегрированию. Например, если

то выходной сигнал

.

Результатом использования оператора интегрирования есть то, что он, воздействуя на входной сигнал x (t), выдает для каждого нового значения t, новое значение площади. Геометрический смысл оператора интегрирования понятен из рис. 2.4.

Таким образом, если оператор дифференцирования «проникает» внутрь сигнала, в его отдельные точки, то оператор интегрирования выдает самые обобщенные представления о входном сигнале.

Более сложными операторами, используемыми в ТАУ, являются операторы-полиномы (многочлены) вида

.

Их называют еще дифференциальными операторами. Смысл такого оператора в том, что входной сигнал преобразуется в выходной вида:

.

Полезность этой записи в том, что дифференциальные уравнения высокого порядка можно записать в краткой операторной форме.

Самыми сложными операторами, используемыми в ТАУ, являются операторы, представляющие собой отношение операторов-полиномов:

причем — это ограничение накладывается условиями физической реализуемости.

Смысл любой операторной записи вида

заключается в том, что ей соответствует дифференциальное уравнение, связывающее вход x (t) с выходом y (t) (рис. 2.3а):

.

При этом оператор при входной переменной называют оператором воздействия, а оператор при выходной переменной y — собственным оператором.

2. Математическое определение линейных САР Выше было сказано, что непрерывные САР подразделяются на линейные и нелинейные. Для линейных систем, в отличие от нелинейных, справедлив принцип суперпозиции, математическая сущность которого заключается в следующем:

Пусть известно, что реакцией САР (рис. 2.5) на воздействие g₁(t) является сигнал x₁(t)=Ag₁(t), реакцией САР на воздействие g₂(t) — сигнал x₂(t)=Ag₂(t), …, реакцией на воздействие g_n(t) — сигнал x_n(t)=Ag_n(t), где A — оператор преобразования входной функции в выходную.

В роли воздействий g_i(t) могут выступать как управляющие, так и возмущающие воздействия.

САР является линейной, если ее реакция на линейную комбинацию функций (сигналов) g_i(t), i=1,2,…, n

где k_i — произвольные действительные числа, является также линейной комбинацией сигналов x_i(t), i=1,2,…, n:

.

Проще говоря, реакция линейной системы на сумму сигналов равна сумме реакций на каждый сигнал в отдельности.

Если все элементы САР (АР, ПУ, ОУ) являются линейными, то и САР в целом будет линейной. Наличие же в САР хотя бы одного нелинейного элемента делает систему нелинейной.

Линейные САР подразделяются на стационарные и нестационарные. Нестационарными являются САР, оператор A которых сам является функцией времени. Отметим, что это не противоречит принципу суперпозиции, поскольку САР остается линейной.

Большую часть реальных САР можно считать линейными, разумеется, с наложением при этом некоторых ограничений. Для получения соответствующей линейной модели используется линеаризация всех или некоторых уравнений исходной САР.

3. Линеаризация динамических САР Линеаризацией нелинейных дифференциальных уравнений (ДУ) реальной САР является процесс их преобразования в линейные уравнения, суть которого заключается в следующем:

В САР должен поддерживаться некоторый заданный режим работы, в котором входные и выходные величины изменяются по определенному закону. Но из-за наличия возмущающих факторов реальные значения переменных состояния отличаются от заданных значений, причем в нормально работающей системе эти различия достаточно малы. Это позволяет разложить нелинейные функции, входящие в уравнения, в ряд Тейлора в окрестности точки, соответствующей заданному (нормальному) режиму работы САР.

Пусть процессы в реальной САР (как в установившихся, так и в переходных режимах) описывается нелинейным уравнением динамики:

.

В качестве переменных x, y и z могут выступать воздействия на САР, а также их производные.

В установившемся режиме уравнение принимает вид:

(*)

где, , — значения воздействий в установившемся режиме, и называется при этом уравнением статики.

Переменные, входящие в исходное уравнение, для реального режима представляются в виде сумм их установившихся значений, , и малых приращений, и :

, .

Подставляем эти выражения в исходную функцию, которую после разложения в ряд Тейлора, пренебрегая составляющими высших порядков малости (меньших, чем порядок приращений), можно представить в виде:

.

Приравнивая последнее уравнение к нулю, и вычитая это уравнение из уравнения статики (*), получаем линеаризованное уравнение САР в приращениях:

.

После указанных преобразований САР считается линейной.

Геометрический смысл линеаризации нелинейной зависимости между двумя переменными (рис. 2.6) означает замену исходной кривой касательной в точке О₁, соответствующей заданному режиму работы, и параллельный перенос начала координат в эту точку.

После линеаризации символы приращений переменных обычно опускают.

4. Дифференциальные уравнения линейных САР Рассмотрим САР частоты вращения двигателя постоянного тока независимого возбуждения, который питается от генератора независимого возбуждения (рис. 2.7) (система «генератор — двигатель»).

Данная система, хотя еще и встречается на практике, в настоящее время является морально устаревшей. Выбор ее в данном вопросе удобен в том плане, что на ее примере можно наиболее наглядно получить типовые дифференциальные уравнения, используемые при анализе систем электропривода.

Объект управления САР содержит генератор (Г), вал которого вращается с помощью приводного АД, с обмоткой возбуждения ОВГ, и двигатель (Д) с обмоткой возбуждения ОВД. Величина ЭДС генератора E_Г регулируется за счет изменения напряжения U_ВГ на ОВГ, которое, в свою очередь формируется с помощью усилителя мощности (УМ), выполняющего роль преобразующего устройства. В качестве датчика регулируемой переменной (скорости двигателя) выступает тахогенератор постоянного тока (ТГ). Сигнал задания U_З формируется с помощью потенциометра, и, согласно электрической цепи, выполняющей функцию узла сравнения, оказывается равным сумме напряжения U_ТГ с выхода ТГ, напряжения U_K корректирующей цепи (R_K — C_K) и напряжения U_У на входе УМ. Корректирующая цепь необходима для придания САР требуемых динамических свойств.

Для математического описания САР выделяют ее отдельные элементы, которые обладают однонаправленными свойствами: выходной сигнал формируется в зависимости от входного, и не влияет на него. Согласно с таким принципом однонаправленности, в САР рис. 2.7 можно выделить следующие элементы:

1. Генератор (Г). В качестве входа рассматриваем напряжение возбуждения U_ВГ, в качестве выхода — ЭДС генератора Е_Г. Условно записываем:

U_ВГЕ_Г(вход выход) Обратное направление выбрать нельзя, поскольку Е_Г не влияет на U_ВГ, а лишь на частоту вращения _Г. Кроме того, это противоречит функциональному назначению генератора.

2. Двигатель (Д):

Е_Г

3. Тахогенератор (ТГ):

U_ТГ

4. Усилитель мощности (УМ) считаем идеальным (внутреннее сопротивление равно нулю):

U_УU_ВГ

5. Узел сравнения (электрическая цепь) (УС):

U_У = U_З — U_ТГ — U_K

6. Корректирующая цепь (КЦ):

Е_ГU_K

После такой детализации можно изобразить блок-схему рассматриваемой САР (рис. 2.8).

Отметим здесь, что рассматриваемая САР является непрерывной.

Рассмотрим теперь более детально каждый блок для того, чтобы составить его математическое описание.

Генератор Будем считать, что все полюса генератора соединены последовательно. Уравнение электрического равновесия (рис. 2.9а) имеет вид:

где — число пар полюсов генератора; W_ВГ — число витков на полюс.

Цепь намагничивания генератора является нелинейной, поскольку (рис. 2.9б). Для упрощения подвергнем ее линеаризации в окрестности рабочей точки с координатами, используя соображения, рассмотренные выше. После разложения функции в ряд Тейлора и пренебрежения малыми членами можно получить:

.

Приравнивая приращения и опуская символ, получим окончательное линеаризованное уравнение:

где .

автоматический дифференциальный передаточный линейный После линеаризации уравнение электрического равновесия ОВГ можно записать в виде:

.

ЭДС генератора при неизменной частоте вращения вала _Г пропорциональна магнитному потоку:

где — конструктивная постоянная генератора.

Выразим из последнего уравнения магнитный поток и подставим в уравнение электрического равновесия:

где — индуктивность возбуждения генератора.

Обозначим:

— коэффициент усиления генератора;

— постоянная времени генератора, с.

Теперь ДУ генератора можно записать в окончательном виде:

(1)

где — оператор дифференцирования.

Это уравнение характеризует работу генератора как в статике, так и в динамике.

Двигатель Двигатель постоянного тока с независимым постоянным возбуждением может быть описан следующими уравнениями:

Уравнение электрического равновесия цепи якоря:

где , — суммарные активное сопротивление и индуктивность цепи обмотки якоря двигателя, представляющие собой суммы соответствующих параметров генератора и двигателя, — противо-ЭДС двигателя;; - конструктивная постоянная двигателя; - магнитный поток двигателя.

Уравнение электромагнитного момента:

.

Уравнение механической части (уравнение движения):

.

Будем считать пока, что нагрузка на валу двигателя отсутствует (). Уравнение момента подставим в уравнение движения, после чего выразим ток:

.

Выражение для тока подставим в уравнение электрического равновесия:

.

Разделив это уравнение на, получим ДУ двигателя в окончательном виде:

(2)

где — электромагнитная постоянная времени цепи якоря, с;

— электромеханическая постоянная времени привода, с.

Тахогенератор Если пренебречь оборотными пульсациями и внутренним сопротивлением тахогенератора, то напряжение на его выходе (равное наводимой ЭДС):

(3)

где — коэффициент передачи тахогенератора, В*с.

Усилитель мощности Пренебрегая внутренним сопротивлением усилителя мощности, для напряжения возбуждения генератора запишем уравнение:

(4)

где — коэффициент передачи усилителя мощности.

Узел сравнения Составленное ранее уравнение оставляем без изменения:

.(5)

Цепь корректирования ДУ для цепи корректирования (рис. 2.10) имеет вид:

или

(6)

где — постоянная времени цепи, с.

Очевидно, цепь корректирования работает только в переходных режимах. В установившихся режимах, когда, правая часть (6) равна нулю.

5. Передаточные функции Для установления взаимосвязи между входом и выходом САР используются передаточные функции в операторной форме и передаточные функции в изображениях Лапласа.

Передаточная функция в операторной форме Передаточной функцией (ПФ) САР или звена в операторной форме называется отношение оператора воздействия к собственному оператору.

Например, пусть САР описывается ДУ:

(*)

где — входное воздействие; - выходная переменная;

— оператор воздействия;

— собственный оператор САР.

Передаточная функция САР в операторной форме, согласно определению, имеет вид:

.(**)

Степень полинома знаменателя называют порядком ПФ, а разность между степенями полиномов знаменателя и числителя — относительным порядком ПФ.

Нулями и полюсами ПФ (**) называют нули ее числителя и знаменателя соответственно, то есть корни уравнений и, где D рассматривается как алгебраическая переменная, а не как оператор. В то же время следует помнить, что ПФ в операторной форме является оператором, и поэтому ее нельзя рассматривать как обычную дробь. В частности, числитель и знаменатель нельзя сокращать на общий множитель, содержащих оператор дифференцирования D.

Для представления ПФ в эквивалентной алгебраической форме используют преобразование Лапласа. Оно особенно удобно при исследовании линейных стационарных систем.

6. Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа называют соотношение:

которое ставит функции действительного переменного в соответствие функцию комплексного переменного ().

Функция, подвергающаяся преобразованию Лапласа, называется оригиналом, и должна обладать следующими свойствами:

· определена и кусочно-дифференцируема на интервале ;

· при ;

· существуют такие положительные числа c и M, что при любом выполняется неравенство .

Функция называется изображением. Оператор называют оператором преобразования Лапласа.

Соотношение

определяющее по известному изображению его оригинал, называют обратным преобразованием Лапласа, а оператор — оператором обратного преобразования Лапласа.

Таблицы соответствия между некоторыми оригиналами и изображения приведены в табл.2.1.

Рассмотрим основные свойства (теоремы) преобразования Лапласа (табл.2.2). Их доказательства несложны, и приводятся в специальной литературе.

Табл.2.1. Преобразования Лапласа [6]

7. Передаточная функция в изображениях Лапласа Передаточной функцией САР или звена в изображениях Лапласа называется отношение изображения выходной переменной к изображению входной переменной при нулевых начальных условиях, имеющее наименьший порядок.

Таким образом, согласно определению, ПФ в изображениях Лапласа не может иметь равные между собой нули и полюсы, так как в этом случае ее порядок следует понизить, сократив числитель и знаменатель на общий делитель.

Табл.2.2. Теоремы преобразования Лапласа [6]

Определим ПФ (в изображениях Лапласа) звена, описываемого ДУ (*), применив к обеим частями этого уравнения преобразование Лапласа, и используя свойство линейности преобразования (табл.2.2):

.

Учитывая, что начальные условия нулевые, с помощью табл.2.2 получаем:

.

Отсюда находим передаточную функцию от входа к выходу :

.(***)

Таким образом, ДУ в изображениях Лапласа легко получается из ДУ в операторной форме путем подстановки и замене переменных их изображениями. Поэтому ПФ в изображениях Лапласа связана с ПФ в операторной форме соотношением

.

При этом после подстановки следует сократить общие множители, если они присутствуют. Обратное соотношение справедлива, если передаточная функция не имеет равных между собой нулей и полюсов.

Следует отметить очень важные моменты:

1. Последние два соотношения, устанавливающих соответствие между ПФ некоторой САР (или звена) в операторной форме и ПФ в изображениях Лапласа, справедливы только для стационарных САР. Поэтому в общем случае, когда говорят просто о передаточной функции САР или звена, имеют в виду ПФ в изображениях по Лапласу.

2. При наличии равных между собой нулей и полюсов ПФ в операторной форме некоторой САР (или звена) ПФ в изображениях Лапласа не может служить его описанием при произвольных начальных условиях.

8. Передаточные функции линейных САР Продолжим рассмотрение примера САР скорости двигателя постоянного тока (рис. 2.7). По записанным ДУ (1) — (6) запишем ПФ элементов САР.

Генератор:

.(1')

Двигатель:

.(2')

Тахогенератор:

.(3')

Усилитель мощности:

.(4')

Уравнение узла сравнения для изображений:

.(5')

Цепь корректирования:

.(6')

Имея ПФ элементов САР, по блок-схеме (рис. 2.8) можно изобразить структурную схему САР (рис. 2.11), помещая в каждом блоке соответствующее ему обозначение ПФ (рис. 2.11а).