Вопросы и задачи

1. Определить кодовое расстояние между комбинациями А иВ и вес каждой комбинации.

Пример. А = 11 011; В = 1 000 101.

Решение. Вес комбинации равен количеству единиц в слове: ш (А) = 4, ш (В) = 3. Для вычисления кодового расстояния сложим комбинации по модулю 2 и найдем вес суммы. А ® В = 1 011 110, ш(А ® В) = 6, d = 6.

2. Алфавит кода состоит из трех разрешенных комбинаций А, В и С. Найти минимальное кодовое расстояние и оценить корректирующую способность кода.

Пример. А = 1 011 010; 6=1 101 111; С= 1 011 001.

Решение. d_min = min{4, 4, 2} = 2. Следовательно, в силу (4.2), любая однократная ошибка может быть обнаружена. Ошибки более высокой кратности могут не быть обнаружены. Гарантий исправления даже однократных ошибок в этом коде нет, так как не выполняется условие (4.3). Действительно, ошибки в 6-м или 7-м разрядах комбинаций, А и С не исправляется. А вот ошибку в первом или 4-м разрядах можно обнаружить и исправить.

3. Код Хемминга (7,4) имеет порождающую матрицу:

• 3.1. Зашифруйте число 13₁₀.
• 3.2. Зашифруйте число 0101₂.
• 3.3. Исправьте ошибку в кодовом слове 110 001 и найдите передаваемое число.
• 3.4. Исправьте ошибку в кодовом слове 111 010 и найдите передаваемое число.

Пример. Выбрать порождающий полином циклического кода, исправляющего однократные ошибки и позволяющего передать 2000 различных сообщений.

Решение. Определим необходимое количество информационных разрядов из соотношения к > log 2000. к = 11.

По правилу Хемминга (г 2 log (п+ 1), для f = 1) определим, что для исправления однократных ошибок требуется 4 проверочных разряда, следовательно, надо строить (15,11)-код.

В (15,11)-коде возможно возникновение 15 одиночных ошибок, следовательно, нужен порождающий полином 4-й степени, так как при этом полиноме получаются 2⁴-1 = 15 различных остатков от деления.

Из таблицы примитивных полиномов выбираем порождающий полином д (х) = (х⁴ + х + 1), так как он проще других, обеспечивающих ту же корректирующую способность кода.

• 4. Циклический код порождается многочленом g (x) = х³ + х + 1.
• 4.1. Закодируйте число 7₈.
• 4.2. Закодируйте число 10₁₀.
• 4.3. Найдите и исправьте ошибку в принятой кодовой комбинации 111 000.
• 4.4. Найдите и исправьте ошибку в принятой кодовой комбинации 111 001.
• 5. Требуется передавать пятиразрядные двоичные слова с помощью кода, исправляющего трехкратные ошибки. Чему равна общая длина кодовых слов?

Пример. Определить количество информационных разрядов кода длиной в пятнадцать символов, если код исправляет две ошибки.

г.

Решение. По формуле (4.5) г > 1од₂? С'_п. Здесь f = 2, п = 15. Можно.

i=0

записать г > log₂(1 + п + п (п — 1)/2). г > 1од₂121 =7. Количество информационных разрядов к = п-г =8.

• 6. Построить порождающий многочлен для создания циклического кода, обнаруживающего все трехкратные ошибки при передаче 1000 сообщений.
• 7. Представьте порождающий многочлен 11 001 в полиномиальном виде.
• 8. Укажите синдром однократной ошибки в 6-м разряде для
• (15,11)-кода Хемминга.
• 9. Канонический блочный код имеет порождающую матрицу

Определите синдром однократной ошибки в 3-м разряде принятой кодовой комбинации.

10. Помехоустойчивый декодер принял двоичную комбинацию U и вычислил вектор ошибки е. Определите переданное десятичное число.

11. Блочный код имеет порождающую матрицу G:

Определите синдром двукратной ошибки во втором и шестом разрядах принятого кодового слова.

• 12. Цепной (8, 4)-код имеет импульсную переходную характеристику (11 000 001). На вход помехоустойчивого кодера подается бинарная последовательность (1 010 110 100…). Закодируйте эту последовательность.
• 13. Дайте классификацию помехоустойчивых кодов.
• 14. В чем состоят основные принципы помехоустойчивого кодирования?
• 15. Какие характеристики определяют корректирующую способность кода?
• 16. Что такое синдром ошибки? Чем определяется значность синдрома?