Комбинированные модели (1-схемы)

Наиболее известным общим подходом к формальному описанию процессов функционирования систем является подход, предложенный Я. Я. Бусленко. Этот подход позволяет описывать поведение непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем, т. е. по сравнению с рассмотренными является обобщенным (универсальным) и базируется на понятии агрегативной системы (от англ, aggregate system), представляющей собой формальную схему общего вида, которую будем называть А-схемой (4, 35].

Основные соотношения.

Анализ существующих средств моделирования систем и задач, решаемых с помощью метода моделирования на ЭВМ, неизбежно приводит к выводу, что комплексное решение проблем, возникающих в процессе создания и машинной реализации модели, возможно лишь в случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую формальную математическую схему, т. е. A-схему. Такая схема должна одновременно выполнять несколько функций: являться адекватным математическим описанием объекта моделирования, т. е. системы 5, служить основой для построения алгоритмов и программ при машинной реализации модели Л/, позволять в упрощенном варианте (для частных случаев) проводить аналитические исследования.

Приведенные требования в определенной степени противоречивы. Тем не менее в рамках обобщенного подхода на основе А-схем удается найти между ними некоторый компромисс.

По традиции, установившейся в математике вообще и в прикладной математике в частности, при агрегативном подходе сначала дается формальное определение объекта моделирования — агрегативной системы, которая является математической схемой, отображающей системный характер изучаемых объектов. При агрегативном описании сложный объект (система) разбивается на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивающие их взаимодействие. Если некоторые из полученных подсистем оказываются в свою очередь еще достаточно сложными, то процесс их разбиения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи моделирования могут считаться удобными для математического описания. В результате такой декомпозиции сложная система представляется в виде многоуровневой конструкции из взаимосвязанных элементов, объединенных в подсистемы различных уровней [35].

В качестве элемента А-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами (внутри системы 5 и с внешней средой Е) осуществляется с помощью оператора сопряжения Я. Очевидно, что агрегат сам может, рассматриваться как А-схема, т. е. может разбиваться на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Любой агрегат характеризуется следующими множествами: моментов времени Г, входных X и выходных У сигналов, состояний X в каждый момент времени /. Состояние агрегата в момент времени /еГ обозначается как г(f)6Z, а входные и выходные сигналы — как х (!)еХ я у (()е У соответственно [4].

Будем полагать, что переход агрегата из состояния г (*₂) в состояние г(/₂)^2(*1) происходит за малый интервал времени, т. с. имеет место скачок Ьг. Переходы агрегата из состояния г (/₁) в 2(/₂) определяются собственными (внутренними) параметрами самого агрегата А (/)еЯи входными сигналами х(/)еX.

В начальный момент времени /₀ состояния г имеют значения, равные г°, т. е. 2°=г^₀)_у задаваемые законом распределения процесса г(0 в момент времени /₀, а именно Ь [г (/₀)]. Предположим, что процесс функционирования агрегата в случае воздействия входного сигнала х" описывается случайным оператором V. Тогда в момент поступления в агрегат /_пеГ входного сигнала х_п можно определить состояние.

Обозначим полуинтервал времени как (г_А, а полуинтервал /₄</</₂ — как [/_А, г₂). Если интервал времени (/", г_я+|) не содержит ни одного момента поступления сигналов, то для /е (/", /"+,) состояние агрегата определяется случайным оператором и в соответствии с соотношением.

Совокупность случайных операторов V и и рассматривается как оператор переходов агрегата в новые состояния. При этом процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний дг в моменты поступления входных сигналов х (оператор V) и изменений состояний между этими моментами и /_я+, (оператор Ц). На оператор и не накладывается никаких ограничений, поэтому допустимы скачки состояний Ьг в моменты времени, не являющиеся моментами поступления входных сигналов х. В дальнейшем моменты скачков Ьг будем называть особыми моментами времени г*,.

Таким образом, под агрегатом будем понимать любой объект, определяемый упорядоченной совокупностью рассмотренных множеств Т_у Ху Y, Zy ZS^y Н и случайных операторов V, С/, W_y G.

Последовательность входных сигналов, расположенных в порядке их поступления в А-схему у будем называть входным сообщением или х-сообщением. Последовательность выходных сигналов, упорядоченную относительно времени выдачи, назовем выходным сообщением или у-сообщением.