Задача оптимального различения сигналов

На первом этапе необходимо определить правило оптимального принятия решения при приеме сигналов, содержащих информацию о состоянии источника дискретной информации с известной априорно статистикой Р (а,). Предполагаем, что форма и параметры (кроме номера /) всех К сигналов, которые соответствуют возможным состояниям источника информации в месте приема, известны. Полагаем известными статистические характеристики помех Щп) и характер их взаимодействия в канале передачи информации с ожидаемыми сигналами л- = K (s_t, п).

Форма ожидаемых сигналов искажается в результате действия помех и сигнал на входе приемника (он же на выходе канала передачи информации) s отличается от переданного сигнала 5, и это отличие растет по мере увеличения уровня помех. Наша задача на основании наблюдения сигнала 5_юпр в приемнике решить, какой из возможных К сигналов присутствовал на входе канала передачи информации, т. е. каждой реализации принятого сигнала необходимо присвоить номер у сигнала S, или оценку Л передаваемого сообщения. Число возможных реализаций принятого нами сигнала существенно превышает^{-алфавит} источника. Задача приемника заключается в делении на К подпространств все пространство реализации 5_ВХ пр и принятии решения о передачеу'-го сигнала в случае попадания реализации s в у'-е пространство. Приемник будет оптимальным в случае такого разбиения пространства «_р на К неподпространств, которое обеспечивает при принятии решений минимальные средние потери. Таким образом, пространство _|ф делится на К непересекающихся областей, каждая из которых в качестве принадлежащего ей элемента содержит один из векторов На рис. 2.1 схематично изображено двумерное функциональное пространство 5, содержащего К областей S , / = 0,1,… В приемнике оператор V каждому вектору s_Bsnp, попадающему в область у'-го сигнала 5_ВХ, ставит в соответствие оценку s, и, следовательно, оценку /г.

Рис. 2.1. Пространство принятия решений.

Сформулируем правило принятия решения. Обозначим через diS^ _||р) решающую функцию. Тогда </(S"_xnp) = bj, если S_Bxnp е 5_кпр,.

В результате воздействия помех, носящих случайный характер, вектор S_ln при передаче сигнала 5 может оказаться в любой точке пространства S_{m |1р}, причем точка необязательно будет принадлежать области переданного сигнала, т. е. возможны ошибочные решения. Задача оптимизации оператора V заключается в обеспечении деления пространства S_{m 1|р} на К областей таким образом, чтобы при оценивании обеспечивался минимальный средний риск при заданной функции потерь.

Отсюда следует, что оптимальная система приема сигналов с помехами эквивалентна делению пространства S на области S, i = 0,…, К-1 так, что обеспечивает выполнение условия (2.2):

В выражении (2.4) вероятность события, состоящего в принятии решения об имевшей место передаче /-го сообщения в случае, когда было передано сообщение а, равна вероятности того, что при передаче сигнала S, вектор 5'_вх мр попадет в область /-го сигнала S_nafj. Если известна статистика помех и характер взаимодействия сигнала известной формы и помехи в канале передачи информации, то можно вычислить условную плотность распределения принятых 5 для каждого передаваемого сигнала fV (S_{m ||[}Д).

Условную плотность распределения W (S_m |5_f), рассматриваемую как функцию параметра S), при конкретной реализации принятого колебания называют функцией правдоподобия. На рис. 2.2 приведен пример представления функции правдоподобия над пространством 5_ВХ принятых сигналов. Для простоты рассматривается одномерное пространетво, отображаемое прямой S_BX. Отрезки, S ₂, S_HX п_р3 представляют области сигналов s, s₂, s₃. Точки S, отображают границы между областями сигналов.

Рис. 2.2. Пример функции правдоподобия.

Определим через функцию правдоподобия вероятность принятия решения о передаче /-го сообщения тогда, когда имела место передача сигнала S):

С учетом выражения (2.6) средний риск (2.4) можно привести к виду:

Таким образом, перешли от суммы интегралов по областям 5_ипр, к интегралу по всему пространству S_m. Этот переход правомочен, так как значения функции потерь для любых / и j определены до приема сигналов.

Значение среднего риска минимально, если каждой реализации 5_{ВХ ||р} оценка а, выбирается таким образом, чтобы получить минимум подынтегрального выражения. Отсюда следует — решение а, при оптимальном приеме принимается, если из всех К сумм вида.

^Ц (а_ъа_/)Р (й,)^^,(5_вхпр| а,), А = 0,1,…, к-1, наименьшей является j-я,.

i

т.е. при фиксированном j удовлетворяется система уравнений, состоящая из К-1 неравенств.

Используя теорему умножения вероятностей: W (a, S_{ln |ф}) = = W (a)W (S_Knpa) = W (S_mJlV (a 5_кмр) и формулу Байеса, получаем.

р (а, s_miv)=

Правило принятия решения о передачеу-го сообщения (2.8) можно переписать в виде.

k = 0, l…, k-Uj*k.

Условная вероятность Р (а S_m) называется апостериорной вероятностью г-го состояния источника информации. Она иоказываег, на сколько изменяется степень информированности получателя информации о данном состоянии источника информации по сравнению с априорной вероятностью после наблюдения принятого колебания _11р.

На рис. 2.3 приведена структурная схема оптимального приемника К сигналов, который содержит А" каналов обработки колебаний. Решение о передаче у-го сообщения принимается по результатам определения /-го канала, в котором значение^U (a_/, a,)/^>(a,|S'_8X,_lp) ока;

i

зывается наименьшим.

Запишем систему неравенств (2.8) для простейшего случая двоичного канала, К = 0,1. С учетом неравенства (2.8) различитель двоичных сигналов (оптимальный приемник двоичных сигналов) должен принимать решение, что К = 1, если.

Рис. 2.3. Оптимальный «различитель» сигналов.

Преобразуем неравенство (2.10), перенеся сомножители, содержащие принятые колебания 5_ВХ пр, в одну сторону, а остальные — в другую сторону неравенства, получим.

где величина ^(5_ВХПр|"1)/й^(5_ВХПрК) ⁼ ^(^вхпр) называется отношением правдоподобия, число а, которому равна правая часть неравенства, называется пороговым уровнем. В такой форме можно получить правило принятия решения для любого статистического критерия, направленного на обеспечение заданного качества работы системы передачи (извлечения) информации и основанного на проверке статистических гипотез.