Некоторые разновидности и выборочные свойства полигауссовых случайных процессов

Для целенаправленного систематического использования полигауссовых моделей реальных сигналов и помех необходимы систематизация и детальное изучение свойств этого класса случайных процессов.

Три вида полигауссовых моделей

При синтезе оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов приема существенны свойства эквивалентности и ортогональности гауссовских компонент. Вообще возможны три вида полигауссовых моделей сигналов и помех:

• — смесь ортогональннх компонент, когда каждая реализация может быть огнесена к одной и только одной гауссовской компоненте;
• — смесь однородных компонент, когда всякая реализация сигнала (помехи) с определенной отличной от нуля и единицы вероятностью принадлежит каждому из образующих смесь процессу;
• — смесь разнородных компонент, когда все они разбиваются на подсистемы, среди которых есть и однородные, и ортогональные.

В свою очередь, элементы каждой из трех систем могут иметь различия только в средних — аддитивные различия, только в ковариационных функциях — ковариационные различия, или совместные различия (в простой степени или в сильной), приводящие к ортогональности.

Такую классификацию по характеру и силе различий гауссовских компонент можно представить в виде объемной диаграммы полигауссовых моделей, откладывая условно вдоль осей абсцисс и ординат по три степени различий соответственно в средних и ковариациях гауссовских комоненг, а вдоль оси аппликат — характеристику смеси. Выделяя на осях средних и ковариаций по три уровня различий (нулевой, просто различия и различия ортогональности) на оси полигаусса получим шесть уровней, объединенных в три группы: тривиальную группу нулевых значений, когда все компоненты совпадают и полигаусс вырождается в моногаусс; группу однородных компонент, содержащую два уровня различия — но одному или по двум моментам; группу уровней ортогональности, содержащую три уровня различия — ортогональность по одному моменту при одинаковости или простых различиях по другому моменту, и наивысший уровень различия — ортогональность по обоим моментам (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Диаграмма полигауссовых моделей:

ОХ — ось аддитивных различий; OY — ось корреляционных различий; OZ — ось уровня различий гауссовских компонент в смеси Для приложений теории вероятностей, важнейшими, как известно, являются свойства моментов рассматриваемых случайных явлений. Поэтому анализ начнем именно с соотношений между моментами, последовательно рассматривая случайнее величины, последовательности и процессы с непрерывным временем.

Одномерный случай. Непосредственно из определений следует, что функция распределения полигауссовой случайной величины является смесью функций распределение компонент. Введем характеристическую функцию полигауссовой величины.

Напомни что если случайная величина о имеет начальный момент k-vo порядка, то характеристическая функция этой величины имеет производную А-го порядка, причем.

отсуда.

Следовательно, начальные моменты распределения отличаются от значения производных характеристической функции при 1 = 0 только множителем/.

Характеристическая функция полигауссовой случайной величины равна смеси характеристических функций компонент. Действительно:

Начальный момент порядка к полигауссовой случайной величины равен смеси начальных моментов её компонент:

Следовательно,.

Используя явные выражения w_w(jc) и ф_я(/):

запишем формулу для вычисления начальных моментов &-го порядка:

Из (1.60) при к= 1 находим, что математическое ожидание полигауссовой случайной величины равно смеси математических ожиданий компонент:

Рассмотрим центральный момент А'-го порядка смеси:

Совершим замену ——— = z_n и проинтегрируем:

Р".

При к = 2 из (1.63) найдем дисперсию:

Формула (1.63) позволяет также записать связь между центральными и начальными моментами.

Конечномерные случайные величины. Функция распределения многомерной полигауссовой случайной величины является смесью многомерных гауссовских функций распределения компонент:

Характеристическая функция.

определена для каждого действительного вектора.

где — корреляционные матрицы гауссовских компонент смеси.

Обратимся к моментам полигауссовой случайной величины. Начальный момент /:-го порядка случайной величины ^ определяется формулой.

и равен смеси начальных моментов к-то порядка компонент смеси. Смешанные моменты любого порядка совокупности Л случайных величин определяются формулой.

и равны смеси начальных моментов того же порядка компонент. Здесь k_j — любые положительные числа (включая и нуль), j= 1,2,…, 1,2к_Гк.

Обратимся к математическому ожиданию и к дисперсии полигауссовой конечномерной величины. Вектор математического ожидания полигауссовой случайной величины равен смеси векторов математических ожиданий компонент.

Второй начальный момент равен.

где hj = 1, 2, //.

Для определения дисперсии воспользуемся известным соотношением, связывающим центральный и начальный моменты второго порядка:

гдеу = 1,2,…, п.

Второй смешанный момент или ковариация случайных величин ^ и i₂:

где /, У= 1,2,…, /;.

Таким образом, элементы ковариационной матрицы смеси определяются формулами (1.67) и (1.68).

Полигауссовы процессы с непрерывным временем. В случае процессов с непрерывным временем, как известно, распределения вероятностей суть определенные функционалы, а роль моментов выполняют соответствующие моментные функции.

Как и для случайных величин, по определению указанные функционалы полигауссовых процессов равны смеси соответствующих функционалов компонент. Таким образом, для характеристических функционалов полигауссовых процессов.

где.

— ха;

рактсристичсский функционал гауссовской компоненты.

Моментные функции полигауссового случайного дятся аналогично моментам полигауссовых величин (1.67) и (1.68). Однако моментные функции к-го порядка полностью определяются /с-мсрным распределением вероятностей, т. е. для определения моментных функций достаточно конечномерных распределений вероятностей. Поэтому рассмотрим прямые методы нахождения моментных функций полигауссовых процессов, используя понятия многомерных распределений вероятностей применительно к случайным процессам. Рассмотрим связь моментных функций и гауссовских компонент смеси. По определению смеси:

где q" > 0; У q_n = 1; w_n (•) — плогность распределения многомерного.

п

нормального случайного процесса:

Djj — алгебраическое дополнение в определителе D элемента.

Dy. Д,= 1; Д_у= Djj. Выпишем общую формулу для определения моментных функций полигауссовых случайных процессов:

Отсюда следует, что моменгная функция порядка т смеси процессов равна смеси (взвешенной суше) m-х моментов её компонент.

Итак, для определения математического ожидания достаточно знания одномерных распределений, для смешанного момента второго порядка — двумерных. Связи между моментными функциями процесса и его компонент получаются — аналогичными конечномерному случаю.

Отметим, что при конечном числе N гауссовских компонент смеси она обладает конечным числом ЗАМ степеней свобода, так как каждая компонента входит в смесь с тремя свободными параметрами: средним, ковариацией и вероятностью при условии нормировки. В частности, это означает, что знание 3N-1 моментных функций совместно с указанием полигауссовости сигнала (помехи) позволяет построить любые его характеристики. Напомним, что для гауссовского сигнала (N = 1) достаточно задать две его моментные функции (среднее и ковариационную функцию) для получения любых характеристик.

Особо выделим полигауссово представление совокупностей негауссовских процессов с вероятностными связями высоких порядков. В отличие от известных описаний корреляционного уровня определяющих только взаимные ковариации второго порядка, эго удобный и конструктивный способ, т.к. сложная совокупность взаимосвязанных сигналов (или помех) определяется столбцом чисел {</"}, столбцами функций {т_п(0} и квадратными матрицами функций R_nk(t, т). Полигауссовы модели системы сигналов позволяют классифицировать и количественно определять характер и степень зависимости (попарную, тройную и т. д.).