Свободные колебания. 
Техническая механика: сопротивление материалов

В качестве примера возьмем упругую систему — консольный стержень с грузом на конце (рис. 114). Под действием закрепленного груза стержень прогнулся на величину Д_Р. При этом силу веса груза уравновешивает сила упругости балки, равная с-Ар, где с — коэффициент жесткости системы, т. е. сила, вызывающая единичное перемещение.

Рис. 114. Консольная балка, совершающая свободные колебания.

Для консольного стержня величина прогиба Д_Р и коэффициент жесткости с определяются по формулам:

Если вывести данный стержень из положения равновесия разовым усилием, а затем предоставить самому себе, то он будет совершать свободные (собственные) колебания относительно своего начального изогнутого состояния, причем эти колебания будут затухающими.

Рассмотрим, какие силы действуют на конец стержня в случае его отклонения вниз на величину «у» (рис. 114):

• — ту"  — сила инерции, которая направлена вверх;
• — с (у + Ар) — сила упругости, которая направлена вверх;
• -Fсила веса груза, которая направлена вниз.

Как известно, дифференциальное уравнение движения колеблющегося груза в случае свободных колебаний можно представить в виде уравнения равновесия, в котором кроме внешней силы (веса груза) и силы упругого сопротивления системы учитывается также и сила инерции:

или.

так как с*Д_Р = F, упростим выражение:

Приняв, что.

получаем следующее дифференциальное уравнение: решение которого

Константа В определяется из граничного условия: при t = О,.

у = О, В = 0.

Решение уравнения (174) в окончательном виде.

Здесь, А — амплитуда колебаний; а>о- собственная круговая частота колебаний, 1/с; / -время, аргумент функции.

При решении задач на колебания необходимо уметь определять собственную частоту системы по ее параметрам. С учетом исходных данных наших рассуждений.

выводим удобные формулы для определения:

где g — ускорение свободного падения; Дп: — статический прогиб от действия веса груза, определяемый по формуле.

тогда.

где Si 1 — податливость системы, т. е. прогиб от единичной силы (для определения податливости системы достаточно построить эпюру единичной силы и умножить саму на себя); т — масса груза.

При выводе формулы (175) не учитывалось затухание свободных колебаний, т. е. постепенное уменьшение амплитуды А, так как период колебаний Т в процессе зазуханий остается постоянным.

Связь между периодом и собственной частотой можно установить, исходя из очевидного положения: за время одного периода аргумент t изменяется на 2л. Тогда а>о (Т + /) — too I — 2я, сооТ= 2л, следовательно,.

Пример 35. К стальной пружине подвешен груз массой 2 кг. Определить частоту собственных колебаний груза без учета массы пружины, если средний диаметр пружины D = 6 см; d = 0,6 см; рабочее число витков пружины z = 15; G = 0,8−10^s МПа.

Решение Частоту собственных колебаний подвешенного груза определим согласно формуле (176).

Для определения коэффициента жесткости с воспользуемся формулой для нахождения осадки пружины.

приняв X = 1, находим с:

тогда.

В отличие от свободных вынужденные колебания не затухают, хотя имеют место силы сопротивления. Это объясняется тем, что при вынужденных колебаниях в систему со стороны возмущающей силы непрерывно подводится энергия, которая и расходуется на преодоление имеющихся в системе сопротивлений.

Закон изменения возмущающей силы обычно выражают в форме.

где Н — максимальное значение возмущающей силы; со, — круговая частота возмущающей силы.

Частота возмущающей силы может быть выражена числом колебаний в секунду — v (1/с) или в минуту — п (1/мин):

При вынужденных колебаниях частота колебаний системы равна частоте возмущающей силы.

Определим амплитуду вынужденных колебаний системы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний получим из выражения (172), прибавляя к его правой части силу F":

или.

Приведем решение этого уравнения;

Вторым слагаемым в этом выражении можно пренебречь, так как оно выражает колебания с собственной частотой, которые затухают по времени. Тогда уравнение колебаний системы выразится следующим образом:

Н Н 1.

где Л₀-—?—2—2−2 — есть амплитуда вынужден-

т (о₀-ы_в) тсо_п

ных колебаний.

₂ С Н

Учитывая, что й)₀=—, а —=Д", где Д" - статическое т с

перемещение системы под действием максимального значения возмущающей силы Н, получаем.

или

где/? — коэффициент нарастания колебаний:

Тогда полный прогиб конца стержня будет равен сумме статического прогиба от веса груза и амплитуды вынужденных колебаний (рис. 115):

Так как напряжения пропорциональны деформациям, можно записать следующее выражение:

где о_тах — полное напряжение в сечении; оу— напряжение от статической нагрузки балки (статическое напряжение); оц — напряжение от максимального значения возмущающей силы при статическом ее приложении; а_Н‘Р = <�т_д-динамическое напряжение.

Рис. 115. Схема системы, совершающей вынужденные колебания.

Амплитуда вынужденных колебаний (183) и динамическое напряжение (184) в упругой системе зависят не только от интенсивности нагрузки и жесткости системы, но и от соотношения частот^. Зависимость р =/(?к) показана на рис. 116.

<�"о Ш*

Рис. 116. Амплитудно-частотные характеристики системы.

Из графика видно, что при малых частотах возмущающей силы амплитуда колебаний равна статическому перемещению.

Если период вынужденных колебаний совпадет с периодом свободных колебаний стержня, то мы получим явление резонанса, при котором амплитуда (размах) колебаний будет резко расти с течением времени. При этом наблюдается значительный рост динамических напряжений. Определенный диапазон отношений от 0,8 до 1,2 на графике называется.

°>о

околорезонансной зоной.

Следуетиметь в виду, что работа конструкции в пределах резонансной зоны не допускается. Известен случай, когда при резонансе угол закручивания вала увеличился в шесть раз по сравнению с тем углом, который был до наступления резонанса, — это был случай поломки коленчатых валов двигателей «Цеппелина» при первом его перелете через Атлантический океан.

Таким образом, явление резонанса, если оно длится некоторое время, а не сбивается немедленно по возникновении, ведет к постепенному росту деформаций и пропорциональных им напряжений в конструкции, что может вызвать поломку. Поэтому, как правило, при проектировании конструкций, испытывающих переменные ускорения с постоянным периодом, необходимо избежать возникновения явления резонанса.

Так как период раскачивающих (возмущающих) сил обычно является заданным, то в распоряжении проектировщика остается лишь период собственных свободных колебаний конструкции, который надо подобрать так, чтобы он в должной мере отличался от периода изменений возмущающей силы.

Из рис. 116 видно, что если частота изменения возмущающей силы очень мала, то амплитуда колебаний приближается к величине А_н, коэффициент нарастания колебаний стремится к единице. В этом случае наибольшие напряжения в системе могут быть вычислены как статические напряжения от груза и наибольшего значения возмущающей силы Н. При очень большой частоте изменения возмущающей силы Н амплитуда колебаний и коэффициент нарастания колебаний стремятся к нулю, груз при этом можно рассматривать как неподвижный; поэтому наибольшее напряжение в системе равно статическому напряжению от груза.

Это обстоятельство имеет очень большое практическое значение; оно используется при конструировании разного рода поглотителей колебаний, сейсмографов, вибрографов и других приборов. В машиностроении амортизаторы, предохраняющие основания машин от усилий, возникающих при колебаниях, подбираются так, чтобы частота собственных колебаний машины на амортизаторах была значительно меньше частоты изменения возмущающей силы.