Варианты контрольных работ

Работа 1. Логика Вариант 1.

• 1. Даны два предложения: «Данное число не делится на 3 или не делится на
• 4»; «Если данное число не делится на 3, то оно не делится на 4». Запишите предложения в виде формул логики. С помощью таблицы истинности проанализируйте, равносильны ли исходные предложения.
• 2. Запишите предложение символически, используя кванторы: «Любое рациональное число из отрезка [ 1; 2] больше /2 «. Постройте отрицание. Прочитайте. Верно ли исходное предложение?
• 3. Прочитайте предложение: V. vVyBz (|х+у| > |*+z|), где ху^еН. Докажите или

опровергните.

4. С помощью кванторов запишите высказывание о числовой функции /.

«При некоторых отрицательных значениях аргумента функция / принимает нулевое значение». Приведите пример функции, удовлетворяющей высказыванию. Сформулируйте отрицание и приведите пример функции, не удовлетворяющей исходному предложению.

5. Докажите или опровергните предложение: «Любое составное натуральное число, меньшее 100, делится или на 2, или на 3, или на 5».

6. Найдите наибольшее целое число х, мри котором верна импликация (г >20)-«((.v + l)² <20).

Вариант 2.

• 1. Даны два предложения: «Данное число целое или неположительное»; «Если данное число положительное, то оно не целое». Запишите предложения в виде формул логики. С помощью таблицы истинности проанализируйте, равносильны ли исходные предложения.
• 2. Запишите предложение символически, используя кванторы: «Любое целое

число, делящееся на 3, является нечетным». Постройте отрицание. Прочитайте. Верно ли исходное предложение?

• 3. Прочитайте предложение: V"y€R 3veR (tg х = sin_y). Докажите или опровергните.
• 4. С помощью кванторов запишите высказывание о числовой функции/: «Ни

при каких положительных значениях аргумента функция / не равна 0». Приведите пример функции, удовлетворяющей высказыванию.

Сформулируйте отрицание и приведите пример функции, НС удовлетворяющей исходному предложению.

• 5. Докажите или опровергните предложение: «Некоторые двузначные натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 7, делятся па 7».
• 6. Найдите наибольшее целое число х, при котором верна импликация

Вариант 3.

• 1. Запишите символически предложение: «Для любого отрицательного числа а существует положительное число />, такое, что сумма чисел а и Ь будет больше 0». Постройте отрицание. Сформулируйте его. Верно ли исходное предложение?
• 2. Запишите предложение символически и опровергните: «Для любых значений х и у, если х<�у, то х²<�у² или у²<�х²».
• 3. Даны два предложения: Л = «Уравнение адг²+&х+с=0, имеет

действительный корень», В = «Выражение Ь²-Лас больше 0». Установите между предложениями отношение следования. Равносильны ли А и Я?

• 4. Переформулируйте предложение, используя закон контрапозиции: «Если два числа нс равны 0, то их произведение нс равно О».
• 5. Используя законы логики, сформулируйте отрицания к предложениям:
  • а) «Если все будут соблюдать правила дорожного движения, то не произойдет ни одной аварии».
  • б) «В классе найдется ученик, решивший все задачи из домашнего задания, который не знает теорему Виета».
• 6. Дана теорема: «В равнобедренном треугольнике высота и биссектриса, проведенные к основанию, совпадают». Выполните следующие задания.
• а) Выделите условие и заключение теоремы. Сформулируйте теорему в условной форме.
• б) Сформулируйте теорему на языке необходимых условий и на языке достаточных условий.
• в) Сформулируйте обратное предложение. Докажите или опровергните.

Вариант 4.

• 1. Запишите символически предложение: «Существует отрицательное число я, такое, что при любом положительном b сумма чисел а и b будет больше О». Постройте отрицание. Сформулируйте его. Верно ли исходное предложение?
• 2. Запишите предложение символически и опровергните: «Для любых значений х и у, если х+у<0, то х<0 и у<О».
• 3. Даны два предложения: А = «Число (-2) является корнем уравнения ах²+Ьх+с=0, аф{)», В = «Выражение Ь²-4ас неотрицательно». Установите между предложениями отношение следования. Равносильны ли А и #?
• 4. Переформулируйте предложение, используя закон контрапозиции: «Если сумма двух чисел не равна 0, то хотя бы одно слагаемое не равно О».
• 5. Используя законы логики, сформулируйте отрицания к предложениям:
  • а) «Если все будут соблюдать правила дорожного движения, то не произойдет ни одной аварии».
  • б) «Каждый ученик класса, решивший хотя бы одну задачу из домашнего задания, знает теорему Виета».
• 6. Дана теорема: «В равнобедренном треугольнике высота и медиана, проведенные к основанию, совпадают». Выполните следующие задания.
• а) Выделите условие и заключение теоремы. Сформулируйте теорему в условной форме.
• б) Сформулируйте теорему на языке необходимых условий и на языке достаточных условий.
• в) Сформулируйте обратное предложение. Докажите или опровергните.

Вариант 5.

• 1. Запишите предложение с помощью кванторов: «Неравенство х²-5х-6>0 справедливо для всех целых значений х». Постройте отрицание, сформулируйте его словесно. Верно ли исходное предложение?
• 2. Постройте отрицание к предложению: «В каждом классе найдется ученик, который решил хотя бы одну задачу».
• 3. Сформулируйте словесно предложение: Зх^х ф ^ л sin х = cosxj. Докажите или опровергните.
• 4. Установите, если возможно, между предикатами отношение следования: а) х²-4х+3>0 и х>5; б) х²=х и х³+х²=2х, где хе R.
• 5. С помощью кванторов постройте все возможные высказывания и найдите их истинностные значения (с обоснованием): т-п-2 (т, пеN).
• 6. Сформулируйте следующее предложение в условной форме и постройте к нему обратное, противоположное и контрапозитивнос предложения: «При положительном дискриминанте квадратный трехчлен имеет хотя бы один действительный корень». Найдите истинностные значения полученных высказываний.

Ниже приведены варианты задач, разбитых на 10 типов заданий. Эти задачи можно использовать при подготовке к контрольной работе 1.

Задание № 1. Введите в рассмотрение простые высказывания, из которых составлено предложение. Запишите предложение, используя логические связки. Истинно ли предложение? Дайте обоснование.

• 1) Если число 21 четное, то оно не делится на 3.
• 2) Если число 42 делится на 4, то оно делится на 3.
• 3) Числа 12 и 21 оба делятся на 3, при этом хотя бы одно из них четное.
• 4) Числа 24 и 42 одновременно делятся на 3 или одновременно делятся на 4.
• 5) Среди чисел 64 и 46 ровно одно число делится на 4.

Задание № 2. Для данных предложений А, В, С и D выполните задания:

• а) выберите высказывания и найдите их значения; б) выберите предикаты. Для каждого предиката укажите, какие переменные являются свободными, а какие связанными. Придайте свободным переменным такие значения, чтобы получить сначала истинное высказывание, затем ложное высказывание.
• 1) А = «Числа а и b являются корнями уравнения 2лг-5*+2=0»,

В = «1 — единственный корень уравнения *²+3*-4=0»,.

С = «Уменьшить сумму чисел х+у на 5»,.

D = «Для каждого числа х найдется число такое, что х+у равно 0».

2) А = «2 — корень уравнения 2*²-5л+2=0»,.

В = «Для каждого числа* найдется число у, такое, чтодг-j' равно 1»,.

С = «Числа *1 и *2 являются корнями уравнения д^+Зл^И)»,.

D = «Увеличить сумму чисел х+у в 5 раз».

Задание № 3. С помощью таблицы истинности проверьте, равносильны ли следующие формулы.

• 1) А—> (Ал]В) и B->" U.
• 2) (A vlB) и А В.
• 3) (A v В) ->U и Т4 л В.
• 4) (А л В) v (U л! в) и 14 Тв.

Задание № 4. Запишите предложение с помощью кванторов. Верно ли предложение?

• 1) Любое действительное число является произведением двух различных действительных чисел.
• 2) Существует действительное число а, квадрат которого больше произвольно взятого действительного числа Ь.
• 3) Найдется действительное число а, которое меньше квадрата любого действительного числа Ь.
• 4) Для любого ненулевого числа а найдется число, произведение которого с а

равно 1.

5) Найдется число, произведение которого с любым ненулевым числом равно единице.

• 6) Существует целое число, на которое делится любое целое число.
• 7) Любое целое число представимо в виде разности двух натуральных чисел.
• 8) Любое целое число является произведением двух целых чисел, отличных

от единицы.

• 9) Любое целое число представимо в виде частного двух целых чисел.
• 10) Для любого числа х найдется такое число у, что их произведение будет меньше 1.
• 11) Существует число х, такое, что для любого числам их произведение будет больше 1.
• 12) Для любого числа .v найдется такое натуральное число у, что их сумма будет положительна.
• 13) Найдется такое число х_у что для любого числа у их сумма будет положительна.
• 14) Каждое натуральное число меньше некоторого действительного числа.
• 15) Найдется положительное число, которое будет меньше любого натурального числа.

Задание № 5. Сформулируйте отрицание к предложению.

• 1) Квадрат любого неотрицательного числа а больше а.
• 2) Существуют два целых числа, делящихся на 5, сумма которых не делится

на 5.

• 3) Ни одно натуральное число, в десятичной записи которого присутствуют только единицы, не делится на 3.
• 4) Найдется отрицательное число, которое нс меньше своего квадрата.
• 5) Если целое число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24.
• 6) Найдется четное натуральное число, в записи которого присутствуют одни

единицы.

• 7) Если произведение двух целых чисел делится на 4, то хотя бы один из множителей делится на 4.
• 8) Если число а положительное, то а > а .
• 9) Произведение любых двух иррациональных чисел является иррациональным числом.
• 10) Если сумма двух целых чисел делится на 3, то оба слагаемых делятся на
• 3.
• 11) Квадрат любого неотрицательного числа а больше а.
• 12) Существует квадрат, не являющийся прямоугольником.
• 13) Некоторый квадрат не является ромбом.
• 14) Любой параллелограмм является ромбом.

Задание № 6. Переформулируйте предложение на основе закона контрапозиции.

• 1) Если трапеция является равнобедренной, то около нес можно описать окружность.
• 2) Если точка треугольника равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
• 3) Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.
• 4) Если два целых числа делятся на 5, то их сумма делится на 5.
• 5) Если два целых числа делятся на 2, то их произведение делится на 4.
• 6) Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция является равнобедренной.
• 7) Если произведение чисел а и b равно 0, то хотя бы один из множителей равен 0.
• 8) Если оба целых числа а и b делятся на 3, то сумма а+Ь также делится на 3.
• 9) Если числа а и b положительные, то их сумма есть положительное число.
• 10) Если хотя бы одно из чисел а или b равно 0, то их произведение равно 0.

Задание № 7. Опровергните предложение.

• 1) Ни один прямоугольник не является ромбом.
• 2) Все прямоугольники являются квадратами.
• 3) Существует нечетное число, квадрат которого является четным числом.
• 4) Для любого числа из отрезка [—5;3] его квадрат будет меньше 9.
• 5) Найдется число из интервала синус и косинус которого равны.
• 6) Для любых действительных чисел аи b если а < Ь, то а² < Ь².
• 7) Для любых целых чисел а и b если их произведение делится на 4, то хотя

бы один из множителей делится на 4.

• 8) Существует число из отрезка [-3;2], куб которого больше 8.
• 9) Для любых значений х и у если sin х = sin у, то х = у.
• 10) Найдется целое число, кратное 4, квадрат которого не делится на 16.

Задание № 8. Выделите условие и заключение теоремы. Сформулируйте теорему в условной форме. Постройте обратное, противоположное и контрапозитивное предложения.

• 1) Сумма двух ограниченных функций является офаниченной функцией.
• 2) Любая сходящаяся последовательность является офаниченной.
• 3) Диагонали прямоугольника равны.
• 4) Диагонали квадрата перпендикулярны.
• 5) Сумма двух целых чисел, делящихся на 3, также делится на 3.
• 6) В ромб можно вписать окружность.
• 7) Для того чтобы треугольник являлся прямоугольным, достаточно, чтобы

одна из его медиан была равна половине стороны, к которой она проведена.

8) Для того чтобы треугольник являлся прямоугольным, необходимо, чтобы одна из его медиан была равна половине стороны, к которой она проведена.

9) Для того чтобы треугольник являлся равносторонним, необходимо, чтобы центр окружности, вписанной в треугольник, совпадал с центром окружности, описанной около треугольника.

10) Для того чтобы треугольник являлся равносторонним, достаточно, чтобы центр окружности, вписанной в треугольник, совпадал с центром окружности, описанной около треугольника.

Задание № 9. Методом математической индукции докажите, что при любом натуральном п одно число делится на другое.

• 1) Докажите, что число 2 • 6²" + 5 делится на 7.
• 2) Докажите, что число З²" ^-1 +5 делится на 8.
• 3) Докажите, что число 2 • 15″ + 5 делится на 7.
• 4) Докажите, что число 5²" ^-1 -2 делится на 3.

Задание № 10. Докажите утверждение методом математической индукции.

• 1) Сумма первых нечетных чисел от 1 до 2/?— 1 равна п .
• 2) Сумма первых четных чисел от 2 до 2п равна п²+п.

^ 11 1 п² + 2п ;

• 3) Сумма чисел — ±+ …+ —=-7 равна -7 при любом
• 1−4 4−9 л²(и + 1)² (п +1)²

натуральном п.

4) Число 3″ больше числа п-2″ при всех натуральных п.

Работа 2. Множества и отношения Предлагается 12 типов заданий для 5 вариантов контрольной работы.

Задача № I. Запишите множество двумя способами: указав характеристическое свойство элементов и перечислив все его элементы.

В1. Пусть S — множество всех чисел из отрезка [-20; 20], каждое из которых является значением функции у = х³ + 10 для некоторого целого х.

В2. Пусть S — множество всех натуральных чисел, меньших 20, каждое из которых представимо в виде произведения двух натуральных чисел, больших 1.

ВЗ. Пусть S — множество всех целых чисел, меньших 30, каждое из которых является квадратом некоторого целого числа.

В4. Пусть S — множество всех целых чисел, квадрат каждого из которых меньше 30.

В5. Пусть S — множество всех целых чисел, куб каждого из которых принадлежит отрезку [—30;30].

Задача № 2. Даны множества А и В. Верно ли, что А^В2 Обоснуйте.

В1. А ={-5,-2,0, 1,4}, /?={д:| З/ieZ: х = Зл + 1}.

В2. Л = {0, —1,-2,1,2}, В= {xeRх⁴-2х³-х² +2х = 0}.

ВЗ.Л = {хеих*+х²-2х = 0}, В = {0,-1,-2,1,2}.

В4. А = {-Ц2}, В= {xeR х⁵-5х*+4х = 0].

В5. А = {xeR I л:³ —2х² -Здс = 0}, В = {-1,-3,1,3}.

Задача № 3. Изобразите множества с помощью кругов Эйлера.

В1.а) 5 = Лп (5С), б) Р = А (ВпС).

В2. a) S = AnBC, б) Р = (а в) г^(В^С).

ВЗ.а) S = A (BnC), б) Р = АпВС .

В4. a) S = ABvC, б) P = A (BkjC).

В5. a) S = AkjBC, б) Р = (АиВ)С.

Задача № 4. Для числовых промежутков А, В и С найдите множество S и изобразите его на числовой прямой.

В1. Дано А = {jreR | дг> 2}, В = {*eR | л: > 3}, С — {xeR х > 5}. Найти S = (AuB)nC.

В2. Дано >4 = {jceR | дг>2}, В= {xeR | х> 1}, С = {xeR I л;> 0}. Найти S = (ЛиВ)глС.

ВЗ. Дано А — {aeR | 1 <�а<5}, В = {aeR | 2 <�а 0[. Найти (АВ)глС.

В4. Дано А = {aeR | 1 <�а^ 5}, В = {aeR | 2 й, а <7}, С= {^eR I .г> 0}. Найти (А пС) иВ.

В5. Дано А = {aeR | 1 <�а<5}, В = {aeR | 2 <�а < 7}, С= {jceR | .г > 0(. Найти S = (ЛиС)В.

Задача № 5. Изобразите множества А и В на числовой прямой. Проверьте, равны ли эти множества. Если нет, можно ли соединить их знаком включения с ?

B1./4 = {aeR| 2а >За}, В = {aeR I — > —.

3* 2х

В2. А = {aeR | а > — }, В = {aeR | |а|>1 }.

.V.

ВЗ.Л = {aeR | |а| + а = 0}, В= {aeR | -!?

В4. А = {aeR | 'Уа <3}, В= {aeR | а² <8![.

В5. А = {aeR | а³ > а² }, В = {aeR | а³>1}.

Задача № 6. Приведите пример множеств, удовлетворяющих условиям.

В1. а) АВ = 0, но А* В, б) А? В и В? С, при этом А^С.

В2. a) AkjB = В, но, А ф В, б) /1с В и Bq: С, при этом AqC.

ВЗ. а) АглВ = В, но, А Ф В, б) А и С пересекаются, при этом AqB и В? С.

В4. а) АиВ = А, но А * В, б) Л n Z? <= С, но Л и Вд: С.

В5. а) ЛглВ = Л, но А* В, б) А ?#, при этом АглСс^ВглС.

Задача № 7. Докажите равенство множеств двумя способами: методом двойного включения и методом преобразований.

Bl. АиВ =(АглВ)иВ.

В2. (АглВ)В = (АВ)и (АиВ).

ВЗ. (АпВ)А=АВ.

В4. А=(АВ)п (АиВ).

В5. {А^В) = (АВ)пВ.

Задача № 8. Пусть А и В — подмножества множества U. Чему равны следующие множества?

В1. Лп (ВЛ) и Аи (АВ).

В2. (АВ)п (ВА) и AnBuJVB.

ВЗ. (AnB)^jB и АиВп (АВ).

В4. АВиВА и (А^В)глА.

В5. (АВ)гВ и Ви (ВА).

Задача № 9. Даны множества А = {1,2},# = {3, 4}, С = {2}. Найдите прямое произведение.

В1. АхАхВ.

В2. АхВхА.

ВЗ. СхВхА.

В4. ВхАхС.

В5. ВхСхВ.

Задача № 10. Изобразите графически (на координатной плоскости) прямое произведение ЛхВ.

В1.Л = {.reR | 2<�х< 4, В= {>eR | 3<�у<5|.

В2. А = {л-eN I л: <4}, В = {yeR I 3 <�у < 5}.

ВЗ А=В= {.veR I -2<�л-<4}.

В4. А = В = {.veR | 3 <* < 6}.

В5. А = (2; 5), В = [3;4].

Задача № 11. На множестве А = {a, b, с, d} задано отношение р. Постройте граф отношения и выясните, какими свойствами оно обладает. Bl. р = {(a, b), (а, с), (a, d), (b, d), (b, c)}.

В2. р = {(a, b), (d, c), (d, d), (b, a), (c, d)}.

ВЗ. p = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c), (a, c), (d, c)}.

B4. p = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}.

B5. p = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, a), (c, a)}.

Задача № 12. Между множествами А и В задано отношение р. Является ли р функцией с областью определения А? Является ли отношение р взаимно однозначным? Обоснуйте.

В1. А = {4, 15, 9, 6}, В= {2, 3, 9}, хру*>х<�у.

В2. А = {2, 3, 5, 7}, В = {4, 25, 21}, хру «* - делитель у».

ВЗ.Л = {2, 1,3}, 5= {0,2}, л: руоУ'= 1.

В4. 4 = {0, 3,4}, В= {-4,-3, 1,5}, хру о х²+у²= 1.

В5. А — {1, 2, 3}, 5 = {0,-1, 1},хру y^v = 1.

Работа 3. Комбинаторика Вариант 1.

• 1. Сколько существует шестизначных телефонных номеров, начинающихся на 3, предпоследняя цифра которых нечетная, последняя цифра равна 2 или 4 и все цифры различны?
• 2. Из 7 отличников школы требуется выбрать двух человек для участия в олимпиаде по математике и двух других человек для участия в олимпиаде по физике. Сколькими способами это можно сделать?
• 3. В одной урне 7 белых, 2 красных и 3 зеленых шара, в другой 5 белых,
• 4 синих и 2 зеленых шара. Сколькими способами можно выбрать из каждой урны по шару так, чтобы среди них был хотя бы один зеленый шар?
• 4. Сколько существует перестановок букв слова АНАНАС, не начинающихся на букву А?
• 5. В выражении (ci² — 1)'°привели подобные члены. Найти коэффициент при а^ь.

Вариант 2.

• 1. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых нет нулей, а цифра 3 встречается не более одного раза?
• 2. Сколько существует перестановок букв слова АВТОМАТ, в которых одинаковые буквы стоят рядом?
• 3. Сколько существует трсхэлсмснтных подмножеств множества
• 5 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, каждое из которых содержит цифру 7 и хотя бы одну четную цифру?
• 4. У одного студента 5 книг, у другого — 7. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?
• 5. В выражении (За-2b)⁵ привели подобные члены. Найти коэффициент при одночлене а²Ь^ъ.

Вариант 3.

• 1. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых все цифры различны, первая цифра не равна I и нет цифр, делящихся на 3?
• 2. У одного начинающего коллекционера 6 марок, у второго 8 других марок. Сколькими способами можно осуществить обмен ipex марок одного из коллекционеров на три марки другого?
• 3. Сколько существует четырехэлементных подмножеств множества S = {С, 7 Р, ?, К, 0,3, А}, каждое из которых содержит хотя бы одну гласную букву?
• 4. Сколько существует перестановок букв слова ХОРОШО, не начинающихся на букву X?
• 5. В выражении (a + 2b)^! привели подобные члены. Найти коэффициент при одночлене а*Ь^А.

Вариант 4.

• 1. Сколько существует пятизначных чисел, в записи которых нет четных цифр, а обе крайние цифры делятся на 3?
• 2. Среди 15 лотерейных билетов 5 выигрышных. Сколькими способами можно выбрать 3 билета, среди которых будет ровно один выигрышный?
• 3. Сколько существует трсхэлсмснтных подмножеств множества S = {1,2,3,4,5,6,7}, каждое из которых содержит хотя бы одну из цифр 5, 6 или 7?
• 4. В одной урне 7 белых, 2 красных и 3 зеленых шара, в другой 5 белых, 4 синих и 2 зеленых шара. Сколькими способами можно выбрать из каждой урны по шару так, чтобы они были разного цвета?
• (зУ
• 5. В разложении I х + — I найдите слагаемое, которое не содержит переменную х.

Вариант 5.

• 1. Сколько существует различных перестановок цифр числа 232 545, первые две цифры которых четные?
• 2. На одной из двух параллельных прямых отметили 4 точки, на другой — 6 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
• 3. В корзине 10 черных и 5 белых шаров. Сколькими способами можно вынуть 4 шара, среди которых будет хотя бы один белый шар?
• 4. Сколько существует трехзначных чисел, средняя цифра которых меньше каждой из крайних?
• 5. Сколько существует различных перестановок букв слова КАРТОЧКА, обе крайние буквы которых согласные?