Уравнения Парка — Горева

Мы выразили обобщенный вектор f в трехосной системе координат — фазных осей времени. Тот же вектор можно выразить в произвольной двухосной системе координат, в качестве которой выбираются декартовы ортогональные координаты, что соответствует замене переменных. Однако до сих пор предполагалось, что трехфазная система удовлетворяет условию (10.1). Если сумма фазных переменных не равна нулю, то ее целесообразно выразить через третью, новую переменную/₀:

откуда.

Величина/₀ называется нулевой составляющей, которая в некоторой мере тождественна составляющей нулевой последовательности метода симметричных составляющих. Исключение составляет то, что она представляет мгновенное (а не векторное) значение, определяемое по мгновенным фазным значениям данной физической величины, изменение которой во времени может происходить по любому закону. Поскольку нулевая составляющая/₀ во всех фазах одинакова, она не влияет ни на обобщенный вектор f, ни на его составляющие f_x и f независимо от того, как ориентированы оси х, у относительно фазных осей.

Таким образом, три переменные/_д,/_в,/_с в координатах Л, В, С можно однозначно заменить тремя другими переменными f_x, f_y, /₀ в координатах х, у, 0 или f_d, f_q, /о в координатах d, q, 0, которые связаны между собой системой уравнений (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Представление обобщенного вектора f в трехосной (Д, В, С) и двухосной (с/, q) системах координат Из системы (10.12) следует, что обратный переход OTf_A, f_B, f_cKf_d, f_q, f₀ осуществляется на основании системы уравнений.

Переход от системы координат А, В, С к системе координат d, q, 0 соответствует замене трехфазной машины эквивалентной двухфазной, в которой пространственное положение магнитных осей обеих обмоток определяется углом у = cot + у₀. Так как фазные обмотки, расположенные в осях d ид, неподвижны относительно ротора, все индуктивности эквивалентной двухфазной машины постоянны. Следовательно, переход от переменных в координатах А, В, С к переменным в координатах d, q, 0 позволяет преобразовать уравнения (10.4) в соответствующие уравнения с постоянными коэффициентами.

Для получения уравнений синхронной машины в осях d, q, 0 рассмотрим обобщенный вектор потокосцеплений 'В = Ч^/е>", образующий с магнитной осью фазы А угол а (рис. 10.5). Величина его и (в общем случае) скорость вращения не постоянные, а являются функциями времени: =/(t) и a =f (t).

Рис. 10.5. Обобщенные векторы потокосцепления и ЭДС и их разложение на составляющие в координатах d, q.

Таким образом, вектор ЭДС Е (см. рис. 10.5) содержит две составляюсь .

щие — трансформаторную ЭДС ?_тр =——е^{, а}, обусловленную пульса;

dt.

цией потокосцеплений |/_d и vy_q, вызываемую изменением величины Y (в зависимости от знака изменения Y вектор Е_тр либо совпадает по направлению с Y, либо противоположен ему), и ЭДС вращения — da

Е_вр = -jYe-" * —, вызываемую вращением Y и отстающую от него на 90° ^v dt

(в установившемся стационарном режиме ?_тр= 0).

Если перейти к осям d, q, совместив их с осями комплексной плоскости, то потокосцепление равно.

откуда.

Перейдя от переменных значений токов, напряжений и потокосцеплений в координатах А, В, С к переменным соответствующих параметров в координатах d, q, 0 в соответствии с системой (10.12) и подставив их в исходные уравнения (10.4), американский инженер Р. Парк и независимо от него российский ученый А. А. Горев получили полную систему дифференциальных уравнений синхронной машины с учетом оценки тормозного (М_т) и электромагнитного (М_э) моментов в осях d, q, 0, получившую в литературе название системы уравнений Парка — Горева:

Отметим, что потокосцепление |/₀ зависит только от токов i₀, так как для них синхронная машина представляет собой простое индуктивное сопротивление (поскольку токи нулевой последовательности не проникают в ротор) и никаких нулевых составляющих ЭДС в машине в результате вращения ее ротора не индуцируется. Поэтому уравнение напряжения для нулевой составляющей в системе (10.17) может быть решено самостоятельно, независимо от других уравнений. Кроме того, оно имеет смысл только при несимметричных режимах, и его решение не вызывает особых трудностей.

Система уравнений Парка — Горева отражает одновременное протекание электромагнитного и электромеханического переходных процессов с учетом их взаимного влияния. В соответствии с принятым ранее допущением о том, что скорость вращения ротора машины в течение данного переходного процесса постоянна и равна синхрон;

dy

ной — у = сод + у₀. Следовательно, — = со_г и в относительных единицах.

dt

dy

при со_б = со_с имеем — = 1.

dt

В установившемся режиме трансформаторные ЭДС отсутствуют. При симметричной нагрузке не будет тока i₀ и токов в демпферных обмотках. При анализе поведения асинхронного двигателя не рассматривается уравнение напряжения обмотки возбуждения.

Для составления математического описания электроэнергетической системы в целом кроме уравнений, описывающих поведение синхронных и асинхронных машин, необходимо знать уравнения для статических элементов (линий, трансформаторов, реакторов, конденсаторов продольной компенсации и др.).

Эти уравнения также записываются в системе координат d, q, вращающейся с постоянной частотой со₀, соответствующей синхронной частоте вращения в установившемся режиме. Это позволяет получить относительно простые схемы замещения и объединить уравнения в единую систему, учитывая электрическую и магнитную симметрии отдельных элементов.