Распределение максвелла и характерные скорости молекул. 
Барометрическая формула. 
Распределение больцмана

В результате изучения данной главы студент должен:

знать

• • распределение Максвелла, но составляющим скорости и его связь с изотропией пространства;
• • распределение Максвелла по модулю скорости; формулы для наиболее вероятной, средней, среднеквадратичной скоростей;
• • барометрическую формулу и се применимость на различных высотах над уровнем моря;
• • распределение Больцмана для произвольного потенциального поля;

уметь

• решать типовые прикладные физические задачи по распределению Максвелла, барометрической формуле и распределению Больцмана;

владеть

• • навыками использования стандартных методов и моделей математического анализа (в первую очередь дифференциального и интегрального исчисления) применительно к распределению Максвелла, барометрической формуле и распределению Больцмана;
• • навыками проведения физического эксперимента, а также обработки результатов эксперимента по распределению Максвелла, барометрической формуле и распределению Больцмана.

Распределение Максвелла по составляющим скорости

Характерные функции распределения частиц можно вывести из общих и частных соображений, а также одну функцию распределения из другой. Ниже демонстрируются эти методы.

Выведем распределение Максвелла по составляющим скорости, используя общие соображения изотропии пространства и статистической независимости значений составляющих скорости друг от друга. Этот красивый вывод был выполнен Д. К. Максвеллом в 1859 г. Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из упруго соударяющихся между собой частиц массой т. По прохождении некоего достаточно большого времени независимо от начального распределения функцию распределения можно считать не зависящей от времени (стационарной) и от координат (однородной). В реальной системе такое установившееся распределение может сформироваться уже за время нескольких столкновений частиц.

Из изотропии пространства (одинаковости свойств пространства, но разным направлениям) следует независимость такой функции распределения от направления скорости:

Поскольку значения проекций скорости молекул на ортогональные оси считаются статистически независимыми величинами, то распределения по координатным осям независимы друг от друга (а из изотропии пространства и одинаковы) и в соответствии с формулой (9.21) функцию распределения можно разбить на произведение трех функций распределения по координатным осям.

Прологарифмируем эго уравнение:

и возьмем от результата производную по v_x:

Аналогично при дифференцировании по v_y и v₇ получим.

Отсюда следует цепочка равенств.

в которой второе звено может зависеть лишь от v_x> третье — только от v , четвертое — только от v₂, а поскольку они равны, то могут быть только константами:

Смысл постоянной у выясним позднее. В результате из соотношений (10.8) можно получить дифференциальное уравнение имеющее решение где С — константа нормировки (9.17):

В пределах интегрирования учтено, что проекция скорости теоретически может принимать любые значения. Интеграл, входящий в формулу (10.11), называется интегралом Пуассона, он равен ~{п/у, откуда.

Постоянная у характеризует скорость экспоненциального убывания функции распределения, она связана со средней энергией поступательного.

движения молекул и пропорциональна температуре газа (9.6) е_лост = -kT.

При этом на каждую координату (или, как говорят, на каждую степень свободы) приходится треть, так что по определению среднего значения (9.18):

¹ Г* л откуда с использованием значения — . ~т табличного интеграла получаем.

z 1 у

т I т.

Таким образом, у = и с учетом равенства (10.12) C = J В результате окончательно получаем распределение Максвелла по составляющей скорости

Из формулы (10.1) теперь несложно получить распределение Максвелла по скорости

В соответствии с формулой (9.14) распределение /(?;,., v_y, v₂) определяет вероятность dw (v_x, v_y, v.) того, что проекции скорости попадают в интервалы значений от v_x до v_x + dv_x, от v_y до v_y + dv_y, от v_z до v_z + dv:.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 10.1.

Колоколообразный вид распределения Максвелла (рис. 10.1) совпадает с нормальным законом распределения Гаусса для ошибок измерений случайной величины. Подчеркнем, что распределение Максвелла выведено в предположении произвольного характера взаимодействия частиц в процессе упругого столкновения. Например, это может быть столкновение твердых шаров или заряженных частиц. Но вывод перестает быть справедливым, если столкновения неупругие, поскольку частицы в этом случае теряют энергию и система перестает быть замкнутой и равновесной.