Пример построения факторно-регрессионной модели переменных удельных капиталовложений в сооружение электрической станции

Построим факторно-регрессионную модель переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции. Выборочная совокупность переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции К" д^Р (млн. руб./МВт) по 20 наблюдениям представлена в табл. 26 (столбец 2).

Исходные данные и результаты моделирования переменных удельных капиталовложений Таблица 26.

Матрица выборочной совокупности именованных параметров приведена в табл. 26 (столбцы 3−4), здесь: Х_г — удалённость от железных дорог площадки электрической станции, км; Х₂ — обеспеченность региона трудовыми ресурсами, чел./км²; Х₃ — среднегодовая температура окружающей среды, °С.

Для построения факторно-регрессионной модели переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции необходимо выявить связи между независимыми параметрами и моделируемым показателем. Для этого необходимо построить матрицу выборочных коэффициентов парной корреляции параметров между собой и параметров моделируемого показателя. Расчет матрицы выборочных коэффициентов парной корреляции включает определение математических ожиданий M (xj) и среднеквадратичных отклонений S (xj) параметров и моделируемого показателя:

На основе математических ожиданий М (х_;) и среднеквадратичных отклонений S (x_;) параметров и моделируемого показателя выполняется нормировка выборочной совокупности параметров.

Значения математических ожиданий М (х_;) и среднеквадратичных отклонений S (xj) именованных и нормированных параметров и моделируемого показателя приведены в табл. 26 (последняя и предпоследняя строки соответственно).

Коэффициенты парной корреляции Гц между параметрами определены по соотношению.

Размерность матрицы коэффициентов парной корреляции соответствует числу параметров п = 3, а матрица имеет вид

Для оценки матрицы нагрузок на факторы необходимо найти собственные значения корреляционной матрицы и соответствующие им собственные векторы. С этой целью составляется характеристическое уравнение корреляционной матрицы.

отсюда Л³ — ЗА² + 0,8762А — 0,064 = 0.

Корни характеристического уравнения могут быть определены любым известным методом, например, итерационным.

Рис. 29. Вклад фак торов в дисперсию параметров.

Теперь можно записать корни характеристического уравнения в порядке убывания: А_г = 2,682; А₂ = 0,195;

А₃ = 0,123. Как указано выше, сумма корней характеристического уравнения равна числу параметров п = 3, А_х 4- А₂ +.

+ А₃ = 2,682 + 0,195 + 0,123 = 3.

Для оценки учета ортогональными факторами дисперсии параметров и определения достаточного числа выделяемых факторов необходимо найти долю суммарной дисперсии параметров ОД%), учитываемую каждым фактором,.

Dj (%) = (Aj/?A) • 100%. Таким образом, первый фактор учитывает D = (Ai/2 А) • 100% = 89,4% дисперсии; второй D₂ = (А₂/? А) • 100% = 6,5%; третий D₃ = (А₃/? А) • 100% = 4,1%. Всеми тремя факторами учитывается 100% суммарной дисперсии параметров. Иллюстрация учета факторами суммарной дисперсии параметров приведена на рис. 29.

Как видно из рисунка, первый фактор учитывает почти 90% дисперсии параметров, поэтому можно предположить, что для описания выборочной совокупности трех параметров достаточно выделения одного фактора.

Для вычисления собственных векторов корреляционной матрицы необходимо составить и решить систему.

Проекции первого собственного вектора а_г, соответствующего = 2,682, определяются при решении следующей системы уравнений:

Или в координатном виде:

В приведенной системе третье уравнение является линейной комбинацией двух первых, такая система имеет множество решений. Для получения одного из решений такой системы достаточно зафиксировать одну из проекций собственного вектора и понизить размерность системы уравнений. Удобно принять а_1Х = 1, тогда значения остальных проекций: а₂₁ = —0,978, а₃₁ = 0,98.

Коэффициенты матрицы нагрузок на факторы определяются как.

Подставив в приведенное выражение значения первого собственного числа и значения проекций первого собственного вектора, можно определить коэффициенты первого столбца матрицы нагрузок:

Если для описания совокупности выборочных параметров выделяется только один фактор, то матрица нагрузок усекается до одного столбца и тогда редуцированная матрица нагрузок имеет вид:

Матрица вычисленных коэффициентов корреляции R_Bbl4 определяется по редуцированной матрице нагрузок на факторы:

Теперь необходимо оценить значимость остаточной матрицы коэффициентов корреляции R_0CT = R_Bbl6 — R_BbI4 и убедиться в достаточном количестве выделенных факторов.

Далее следует приступить к оценке значений факторов по всем наблюдениям N = 20. С этой целью требуется найти матрицу связи W на основе обратной матрицы вычисленных коэффициентов корреляции R_Bbl4:

Для рассматриваемого примера матрица связи представляет собой матрицу-строку:

Теперь можно определить значения факторов по наблюдениям F, представляющим собой матрицу-столбец:

Значения факторов по наблюдениям приведены в табл. 26 (9 столбец).

Далее с использованием обычного регрессионного анализа можно получить факторно-регрессионную модель переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции в линейном виде:

Учитывая, что при определении прогнозных значений факторов не выполняется уточнение матрицы связи W, модель переменных удельных капиталовложений можно записать в виде у = Ь₀ + b_xfi.

Вектор точечных оценок коэффициентов модели определяются по соотношению.

Информационная матрица имеет вид:

Тогда вектор коэффициентов модели:

Построение доверительных интервалов коэффициентов модели выполняется с использованием стандартного значения распределения Стьюдента:

Теперь модель может быть записана с учетом точечных и интервальных оценок.

Вычисленные по модели значения переменных удельных капиталовложений в сооружение конденсационной электрической станции и их отклонения от выборочных значений приведены в табл. 26 (столбцы 10, 11).