Параметрический резонанс и его подавление

Параметрический резонанс как проявление динамической неустойчивости системы

Как было показано в параграфе 7.2, при определенном периодическом изменении параметров можно ожидать бесконечное нарастание амплитуд колебаний даже при отсутствии вынуждающей силы. Это явление называют параметрическим резонансом.

Параметрический резонанс есть проявление динамической неустойчивости системы, когда малые возмущения могут привести к существенным изменениям движения системы.

Дадим несколько пояснений в связи с термином «устойчивость движения». Если называть возмущенным движение с измененными начальными условиями, то устойчивость можно рассматривать как свойство возмущенного движения сколь угодно мало отличаться от невозмущенного при достаточно малых начальных возмущениях. Если к тому же при t —>оо движение стремится к невозмущенному, то оно называется асимптотически устойчивым.

В нашем случае из решения (7.19) вытекает, что при D₀ = О соответственно q = Q. Однако достаточно задать малые начальные условия, в силу которых D₍₎ Ф 0, чтобы при t —> °° из-за возрастающего экспоненциального множителя получить q —"°°.

Обеспечение условий динамической устойчивости является одной из самых ответственных задач при синтезе механических систем. Практическая важность этих понятий следует, во-первых, из того, что неустойчивое движение является по существу неуправляемым, а значит, любое случайное возмущение на достаточно большом отрезке времени может привести к аварийным последствиям. Кроме того, исследуемая динамическая модель, как уже отмечалось, далеко не полностью эквивалентна своему физическому оригиналу, и поэтому реальная система не может быть точно описана. Отклонения же, вызванные этими неточностями, можно расценивать как возмущения, которые в случае неустойчивости приведут к существенным искажениям полученного решения.

Обычно в качестве наиболее наглядного примера параметрического резонанса приводят раскачивание па качелях, когда, приседая и распрямляясь, мы периодически изменяем расстояние между осью качания и центром масс. Однако при эксплуатации машин это явление далеко не столь безобидно, как в приведенном примере. Параметрический резонанс, возникающий при определенной пульсации параметров системы (например, приведенного момента инерции или приведенного коэффициента жесткости), требует достаточно точной частотной настройки. Поэтому он встречается в практике реже силового резонанса и нередко расценивается как маловероятное побочное явление. Между тем, практика эксплуатации многих машин свидетельствует о том, что параметрический резонанс в ряде случаев не только является источником нарушения нормального функционирования механизмов, но может также приводить и к авариям. Так, например, к серьезным последствиям на ранней стадии проектирования паровозов приводила переменность приведенной жесткости приводного механизма колес. Известны также аварии из-за параметрического резонанса, возникающего при пульсации переменного приведенного момента инерции привода машины.

Пусть имеет место пульсация квадрата «собственной» частоты относительно среднего значения &₀², протекающая с некоторой частотой 12:

где? — глубина пульсации.

При этом правая часть уравнения (7.21) равна 2f (t) = = —2zkl sin Q.t, а следовательно, условный осциллятор резонирует при Q = 2k₀, что соответствует главному (или основному) параметрическому резонансу. Болес подробный анализ свидетельствует, что помимо этой резонансной частоты области динамической устойчивости располагаются в окрестности значений где s = 1, 2, 3,…

Эти области на координатной плоскости? — Q/k₀ выделены штриховкой (рис. 7.4). Пусть, например,? =? , что соответствует на графике прямой, параллельной оси абсцисс. Точки пересечения этой прямой с границами областей динамической неустойчивости ограничивают диапазоны критических частот М2, на которых имеет место параметрический резонанс.

Рис. 7.4.