Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил

«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»

Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V₀, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F (t).

Дано:

m = 4, кг

V₀ = 12, м/с

Q = 12, Н

R = 0,8V², Н

L = 2.5, м

F_x = -8cos (4t), Н Определить:

Закон движения груза на участке ВС (x = f (t)).

Решение:

1. Пусть груз — материальная точка. Изобразим и. Проведем ось Ax и составим дифференциальное уравнение в проекции на эту ось:

Далее находим:

Учитывая, что V_x = V:

или

Выведем:

где g = 10 м/с.

Тогда:

Разделяя переменные и интегрируя:

По Н.У. при x = 0: V = V₀, откуда:

;

Получим:

;

Откуда:

и

В результате:

Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим V_B:

2. Рассмотрим движение на BC.

Рассмотрим движение ВС (V₀ = V). Изобразим, , и .

или, где

При t=0; V = V₀ = V_B = 8.29 м/с:

С₂ = V_B = 8.29 м/с.

К-3 Вариант 18

а^вр

А

a_A C_v

а^вр

a_c

а^цс

E_oa a^цс C

a_B

W_oa

a_B О В

Y

a_B

X

Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 W_oa=2 E_OA=6

Найти: Ускорения во всех точках

Va=Woa*OA=20

Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45

Wab=Va/Cva=4/2^½

Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20

Vc=Wab*CCv=2^½2*BC/2ctg45=52^½/2

a_A^bp= E_oa*OA=60

a_A^цс=W_OA²*OA=40

a_B^цс= W_OA²*AB=80

a_B= a_A^bp +a_A^цс +a_AB^ЦС +a_AB^bp

X: 2^½/2*a_B= a_A^цс +a_AB^BP

Y: 2^½/2*a_B= a_A^BP +a_AB^ЦС

a_AB^BP =========== ==MOI===KOI0-U=140−40=100

E_AB=100/10=10

a_B= a_A^вp +a_A^цс +a_AC^ЦС +a_AC^вp

a_AC^вp = E_AB*АВ=50

a_AC^ЦС= W_AВ²*АС=40

X: 2^½/2*a_c= a_A^цс +a_AB^BP

Y: 2^½/2*ac₌ a_A^BP +a_AB^ЦС

a_C=(a_cx² +a_cy²)^½

«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения».

Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 © найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.

Исходные данные:

Решение:

Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим:

— траектория точки в координатной форме.

Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

— выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки:; Т.к. радиус кривизны известен, но в качестве проверки применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t₁ = 1 c):

Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки.

На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение.

Исходные данные:

Решение:

Определим пространственную траекторию точки в координатной форме:

— траектория точки в координатной форме.

Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки:

Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле:

— выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают, знак «-» значит, что движение замедленное.

Модуль нормального ускорения точки:; Т.к. радиус кривизны не известен, применим другую формулу для нахождения модуля нормального ускорения:

Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения:

Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t₁ = 1 c):

«Определение реакций опор твердого тела».

Задание: Найти реакции опор конструкции.

Дано:

Q = 6, кН

G = 2, кН

a = 60, см

b = 40, см

c = 60, см Определить:

Реакции опор конструкции.

Решение:

К раме ABCD приложены сила тяжести, сила, реакция стержня DC и реакции опор A и B. Реакция шарового шарнира, А определяется тремя составляющими:, а реакция петли В двумя: .

Из этих сил — шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия.

Уравнения моментов сил относительно координатных осей:

Уравнения проекций сил на оси координат:

Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции.

Результаты вычислений заносим в таблицу:

Проверка:

Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно.

В 18. Д — 1.

Дано: V_A = 0, = 30, f = 0,1,? = 2 м, d = 3 м. Найти: h и .

Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F. Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X₁: = Gsin — F, (F = fN = fGcos) = gsin — fgcos,

Дважды интегрируя уравнение, получаем:

= g (sin — fcos) t + C₁, x₁ = g (sin — fcos) t²/2 + C₁t + C₂ ,

По начальным условиям (при t = 0 x₁₀ = 0 и = V_A = 0) находим С₁ и С₂: C₁ = 0, C₂ = 0,

Для определения V_B и используем условия: в т. B (при t =), x₁ =? , = V_B. Решая систему уравнений находим:

x₁ =? = g (sin — fcos)²/2 2 = 9,81(sin30 — 0,1cos30)²/2, = 0,99 c ,

= V_B = g (sin — fcos) V_B = 9,81(sin30 — 0,1cos30)0,99 = 4,03 м/с ,

Рассмотрим движение камня на участке ВС. На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекции на оси X, Y: = 0, = G ,

Дважды интегрируем уравнения: = С₃, = gt + C₄ ,

x = C₃t + C₅, y = gt²/2 + C₄t + C₆ ,

Для определения С₃, C₄, C₅, C₆, используем начальные условия (при t = 0): x₀ = 0, y₀ = 0, = V_Bcos, = V_Bsin ,

Отсюда находим: = С₃, C₃ = V_Bcos, = C₄, C₄ = V_Bsin

x₀ = C₅, C₅ = 0, y₀ = C₆, C₆ = 0

Получаем уравнения: = V_Bcos, = gt + V_Bsin

x = V_Bcost, y = gt²/2 + V_Bsint

Исключаем параметр t: y = gx² + xtg ,

2V²_Bcos²

В точке С x = d = 3 м, у = h. Подставляя в уравнение V_B и d, находим h: h = 9,813² + 3tg30 = 5,36 м ,

24,03²cos²30