Модель поведения толпы при отсутствии чрезвычайных ситуаций

В условиях отсутствия чрезвычайных ситуаций наиболее важной задачей является обеспечение свободного доступа агентов к выходам, предотвращение давки и эффекта турбулентности толпы.

Приведем формальное описание модели. Основным допущением в модели является то, что рассматривается только один тип пространства начального (т.е. до эвакуации) местоположения агентов в виде одноэтажного помещения прямоугольной формы с двумя выходами. Первоначально каждый агент имеет ограниченное собственное личное пространство. Однако в результате постепенного увеличения плотности толпы вокруг агента сто личное пространство вначале сжимается вплоть до критического уровня, после которого резко разжимается (из-за паники), и возникает волновой эффект, выражаемый в виде нарастающего выталкивания агентов от центра толпы к краям. Часть агентов при этом погибает как вследствие турбулентности, т. е. отбрасывания на стены «крайних» агентов, так и по причине давки, т. е. плотности толпы, значительно превышающей критический уровень.

Введем следующие обозначения:

• • ?=1,2, …, Т — быстрое модельное время, мин, Т — время, отведенное на эвакуацию;
• • i = l, 2, I — индекс агентов (кроме спасателей);
• • Л = 1, 2,…, К — индекс спасателей;
• • {*,•(?), г/,(?)}, {-^(О, Ук (0} ~~ координаты местоположения обычных агентов и спасателей соответственно в момент времени ?;
• • Sj, s_k — скорости перемещения агентов (экз.);
• • R* — радиус^-го столба-препятствия, ?,= 1,2,…, Ч* (экз.);
• • гд?) — радиус «личного пространства» z-го агента;
• • г — радиус «личного пространства» (т.е. радиус действия) спасателя, являющийся зоной видимости спасателя по отношению к другим агентам (экз.);
• • {я 1, bД, {#!, d_x) — координаты вершин первого выхода (экз.);
• • {а₂> Ь₂}, {я₂, d₂) — координаты вершин второго выхода (экз.);
• • p (t) — некоторая случайная величина, формируемая датчиком случайных чисел в диапазоне от 0 до 1 в момент времени ?.

Дистанция dist_it(t) (расстояние) между i-ы агентом, i = 1, 2,…, /, и %-м столбом-препятствием, ?,= 1,2, …, с координатами {х^г/J, расположенным на траектории следования i-ro агента, в момент времени t (рис. 12.1) определяется по формуле

Рис. 12.1. Возможные траектории движения агента к выходу при наличии препятствий и отсутствии чрезвычайных ситуаций.

Следует отметить, что начальные координаты агентов в модели задаются случайным образом. При этом большинство из них находятся внутри помещения и попадают в потенциальную зону поражения.

Каждый г-й агент (человек) имеет личное пространство г (2) = /(р,(0)> где р_г(2) — плотность людей в толпе относительно г'-го агента в момент времени t- 1,2,…, Т:

Здесь t — 1,2, …, Т — непрерывное (быстрое) время; st_;(0 = = {0; 1; 2} — статус агента (0 — жив, 1 — убит, 2 — ранен); R заданный (фиксированный) радиус для оценки плотности; расстояние между 2-м иу-м агентами в момент времени 2 = 1,2,…, Т:

Личное пространство агента в момент времени ?:

Здесь r_v r_v r₃, r₄ (r₃ 2 «сг, <$cr₄) — фиксированные радиусы; Pi, p₂, p₃ (Pj «ср₂ <^p₃) — фиксированные граничные значения плотностей толпы.

Следует отметить, что если р,(?)>р₄ (рис. 12.2), то /-й агент погибает в результате давки. В этом случае статус агента в модели st_i(t) = 1. Также /-й агент погибает в результате эффекта турбулентности толпы, если попадает на стены, т. е. в случае, если его расчетные координаты совпадают или выходят за границы помещения с координатами стен {х, х, у, у} (что в свою очередь возможно только при отбрасывании «крайних» агентов на стены), т. е. если х.(р)йх₉ или x.(t)>x, или у.(?)<у, или y_t{t)>y.

Рис. 12.2. Зависимость радиуса «личного пространства» /-го агента от плотности толпы р,•(?).

В условиях отсутствия чрезвычайных ситуаций динамика /-го агента, г = 1, 2,…, /, в момент времени ?,?=1,2,…, Г, описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Условия:

I. dist_it(t) >R,+ r (t) для всех t, = 1,2,4^х,.

dist .(t) > n (t) + r.(t) для всех j = 1,2, i —1, i +1,…, /, sf.(?) * 1;

II. dist_iC (t) < & + r.(?) для ближайшего % = 1,2,…, ^VF,.

dist At) > r (t) + r.(?) для всех j = 1,2,i -1, i +1,/, s?.(?) ^ 1;

III. dis?^(?)</^ 4- v-(jt) для ближайшего? = 1,2,…, ^VF, dist.j (t) < r.(t) + r (t) для ближайшего j = 1,2,i -1, i +1,…, I,.

$*.(*) (0*i;

IV. dist^(t) >R"+ r (t) для всех? = 1,2,…,.

dist_if(t) < r (?) + r.(f) для ближайшего j = 1,2, i -1, i +1,…, /,.

s?.(?)*l, ^ (0*1;

V. dist_it{t) < R_t + r.(?) для всех? = 1,2,Ч*, или.

dist.(?) <(?) + г (?) для всех у = 1,2, …, i-l, i + l, или s?.(?) = 0.

Угол направления движения i-го агента к выходу.

Угол обхода i-м агентом ?-го столба-препятствия.

Угол отскока /-го агента от ?-го столба-препятствия:

Угол отражения /'-го агента от ближайшего j-го агента: Во всех формулах i = 1, 2,/,?=1,2,Ч? t = 1, 2,…, Г.