Овладение арифметикой. 
Педология

«ПСИХОЛОГИЯ АРИФМЕТИКИ» ТОРНДАЙКА

До XX в. обучение арифметике основывалось главным образом на эмпирических наблюдениях школьной практики и на некоторых априорных рассуждениях. С развитием педагогической психологии вопросы обучения арифметике стали изучаться также с психологической точки зрения. Какую роль играют в процессе счета представления и в чем чаще всего ошибаются при счете — таковы были те два вопроса, на которых преимущественно сосредоточилось внимание психологов. Оказалось, что зрительные представления очень помогают детям при счете; наоборот, те, которые при счете пользуются преимущественно слуховыми представлениями, очень затрудняются в устном счете (Eckardt). Что касается быстроты счета, то дети быстрей всего умножают, несколько медленнее слагают, еще медленнее вычитают и всего медленнее делят (Ranschburg). В ошибках надо резко различать ошибки в счете и ошибки в писании числа. Чаще всего ошибаются в списывании слагаемых.

Первые психологические работы, относящиеся к обучению арифметике, основывались преимущественно на изучении взрослых, а не детей, и концентрировали свое внимание на ограниченном круге вопросов. Педагогической практике они не много могли дать. К Сожалению, именно тогда из этих первоначальных психологических работ были сделаны чрезвычайно широкие и весьма необоснованные, даже неправильные выводы Лаем («Руководство к первоначальному обучению арифметике»). Несмотря на то, что Лай подвергался очень суровой критике в научной литературе, до сих пор часто педагоги-практики доверчиво относятся к его книге. Основные ошибки Лая — очень упрощенное и неверное понимание роли зрительных представлений при счете и вообще примитивное, путаное и полное фактических ошибок учение о представлениях.

Эпоху в изучении психологии арифметики сделала книга Торндайка (1920). Торндайк исходит из вопроса: каковы тс функции, которые начальная школа старается усовершенствовать преподаванием арифметики? Он насчитывает семь таких функций: практическое знание (в буквальном переводе «работающее знание» — working knowledge) 1) смысла чисел, 2) десятичной системы, 3) смысла сложения, вычитания, умножения и деления, 4) сущности и отношений общеупотребительных мер, 5) терминов, символов, диаграмм и т. п., поскольку это требуется простейшими арифметическими запросами жизни и практическое умение, 6) складывать, вычитать, умножать и делить положительные числа — целые, именованные и обыкновенные и десятичные дроби, 7) применять все вышесказанное соответственно простейшим арифметическим запросам жизни, так как начальная школа не должна готовить учеников для редких или трудных запросов жизни.

Каждая из этих функций представляет собой совокупность более элементарных функций. В конечном счете мы сталкиваемся с вопросом: в чем состоят те элементарные связи или ассоциации, которые образуют эти связи? Идеалом являются такой выбор и такое распределение связей, которые лучше и экономней всего совершенствуют соответствующие функции. Торндайк советует образовывать эти связи, исходя из рассмотрения той ситуации, перед которой стоит ученик, и той реакции, которую (в арифметическом отношении) желают связать с этой ситуацией. При этом не надо создавать лишних связей и таких, какие потом надо будет разрушить. Надо отдавать предпочтение таким ситуациям, которые будут встречаться в самой жизни, и таким реакциям, которые потребуются в жизни, образовывая связи между этими ситуациями и реакциями таким путем, каким они должны будут впоследствии действовать.

Элементарные связи, основные навыки должны быть очень прочными. Наоборот, связи, нужные только в течение ограниченного времени, надо укреплять лишь в ограниченных размерах. Связи укрепляются посредством упражнений. Торндайк считает, что количество нужных упражнений зависит от способностей ученика, его подготовки и интереса. В среднем для легких связей (например 2×5=10 или 10−2=8) достаточно 12 упражнений в течение недели первоначального изучения, 5 упражнений в следующие два месяца и 30 упражнений в течение более поздних периодов. Для связей обычной трудности (11−3; 4*7; 48:8 и т. п.) соответствующие числа упражнений будут 20, 30, и 50. Для трудных связей число упражнений надо увеличить на 10- 100%. Избегая недоучивания и переучивания, Торндайк, однако, рекомендует переучивание в некоторых случаях, например, когда связь имеет очень большое значение в будущем.

При распределении учебного материала Торндайк рекомендует руководствоваться следующими советами: 1) не надо вводить новых связей, пока предыдущая группа связей не будет прочно установлена; 2) нс надо одновременно вводить две различные группы связей; 3) связи должны образовываться в такой последовательности, чтоб ни одну из них не пришлось впоследствии разрушать; 4) распределение должно стремиться к разнообразию; 5) следует откладывать объяснение, почему надо делать так, до того момента, пока ученики не будут в состоянии убедиться путем поверки, что данный прием дает правильные результаты; 6) при установлении порядка связей надо учитывать задачи других учебных предметов и практические потребности ученика вне школы.

В итоге основную мысль «Психологии арифметики» Торндайка можно формулировать его же собственными словами так: «В арифметике нет почти ничего, что надо было бы преподавать как дело простой нерассуждающей привычки или памяти; в ней нет также ничего, что надо было бы изучать сперва как принцип, чтобы потом оно стало делом простой привычки или памяти. Почти все в арифметике должно преподаваться как привычка, которая имеет связь с уже приобретенными привычками и которая будет работать организованно с другими привычками в будущем. Пользование этой организованной иерархией привычек для решения новых проблем есть рассуждение».

Для Торндайка, как вообще для господствующего в современной американской психологии течения, характерен взгляд на учение как на образование привычек, «связей». Такое понимание учения родственно рефлексологическому пониманию, которое сводит проблему учения к проблеме образования условных рефлексов, и вместе с ним заслуживает упрека в механистичности. В обоих этих пониманиях совершенно отсутствует концепция развития; нет взгляда на учение как на развитие. Механицизм Торндайка тем больший, что рефлексолог все же все время помнит о связи условных рефлексов с безусловными, а Торндайк склонен идти в своем забывании законов развития настолько далеко, что даже утверждает: «Насколько известно, нет никаких особых сроков и времени, по достижении которых человеческое животное (human animal) в силу внутреннего роста оказывается специально созревшим для того или другого отдела или той или другой точки зрения в арифметике». Однако тотчас же он вынужден сделать оговорку, уничтожающую только что приведенный его тезис: «общий внутренний рост интеллектуальных сил делает менее понятные и более сложные задачи подходящими для все более и более поздних лет». Сводя изучение арифметики на образование привычек, Торндайк прошел мимо того известного всякому педагогу факта, что основная трудность, на которую наталкивается обучение ребенка арифметике, это — непонимание: «не понял правил», «не понял объяснений», «не понял задачи» — вот самые частые и самые большие камни преткновения. Увлекшись взглядом на человека как на «человека-животное», причем животное, в свою очередь, понимается как механизм, Торндайк недоучел значения интеллекта в усвоении арифметики.

Таким образом, из основной принципиально неверной механистической концепции Торндайка получилось, что обучение он понимает исключительно как образование привычек, а не как процесс развития, и недооценивает значения интеллекта, в частности роли понимания при усвоении арифметики. Он не идет дальше очень общих и кратких указаний об использовании врожденных интересов (игры) и считает самым существенным фактором повышения интереса к изучению арифметики успех: «успех заинтересовывает». Насколько он механистичен, видно из того, что в проблеме предшкольного арифметического развития ребенка он видит почти исключительно лишь проблему «инвентаря арифметических знаний и умений» поступающего в школу ребенка.

Неудивительно, что при такой неправильной концепции Торндайк не дал ни систематического анализа тех функций, которые начальная школа старается усовершенствовать преподаванием арифметики, ни (самое главное теоретически и практически) того, в какой последовательности следует друг за другом то, что он называет «связями». А ведь в этом весь вопрос, так как, только зная это, можно рационализировать на научной основе изучение арифметики. Работа Торндайка дает ряд советов, иногда очень детальных, иногда и слишком общих, иногда общеизвестных, иногда новых. В ней имеется много конкретных примеров, иллюстрирующих как ошибки прежних педагогов, так и советы самого Торндайка. Но в работе Торндайка нет ни систематического изложения хода обучения ребенка арифметике, ни систематической картины овладения ребенком ею. Принципиальные установки Торндайка неправильны. Они не могут быть приняты советской педологией, которой одинаково чужды и взгляд на ребенка как на человека-животное, понимаемое притом как механизм, и взгляд на учение, что самое главное для него — привычка и личный успех.

Тем не менее работа Торндайка представляет собой большой шаг вперед. Она критикует старые методы обучения арифметике, основанные на неверных априорных рассуждениях, злоупотребляющие дедукцией или голым тренажем и упражняющие ребенка на плохо продуманном материале. Но она сильна не только критикой. Торндайк разработал много ценных указаний о пользовании индукцией при обучении арифметике. Он выдвинул ряд ценных предложений по рационализации арифметических упражнений и по учебнику.

Современная мировая литература по психологии арифметики отличается большим количеством работ и определенностью конкретных выводов. Исследования ведутся, главным образом, над следующими проблемами: 1) умение обращаться с числами у ребенка, поступающего в школу; 2) сравнительная трудность различных случаев сложения, вычитания, умножения и деления, определяемая обычно количеством ошибок или количеством упражнений, нужных для усвоения; 3) анализ и классификация ошибок при счете; 4) экспериментальная проверка наиболее простых приемов обучения арифметике; 5) тесты. Таким образом, исследования охватывают довольно широкий круг вопросов. Но в то же время для них характерно отсутствие широких обобщений: очень часто эти исследования не идут дальше констатирования отдельных фактов, даже без достаточного объяснения их.