Решение гидродинамических уравнений численными методами

Методы решени сложных гидродинамических задач

Полученные в гл. 14,15 дифференциальные и интегральные уравнения представляют собой математические модели движения жидкости. Эти уравнения иногда оказываютс слишком сложны для решения аналитическими методами однако их приближенное решение возможно для определенного комплекса точек во времени и пространстве, занятом течением жидкости (которые называют узловыми ил точками сетки), а значения параметров в промежуточны точках находятся интерполяцией величин, заданных в узловых точках. Для этого используются различные метод численного решения как отдельных уравнений, так и систем уравнений.

Известно три класса математических методов, используемых для решения технических задач: метод конечных элементов, метод конечных разностей и метод характеристик. Однако метод конечных элементов не нашел широког применения для решения сложных гидравлических задач, а метод характеристик применяется относительно редк для решения нестационарных задач в открытых руслах.

Метод конечных разностей последнее время наиболее часто встречается для решения задач в практике. Суть метода заключена в замене функций непрерывных аргументов определяющих течение жидкости, функциями, известным в конечном числе точек сетки, и замене производных конечными разностями. Сетка представляет собой комплекс точек, распределенных в пространственной области, определяемой теми же координатами (х, у, ?), что и для функци непрерывных аргументов в случае двухмерной задачи. Различные способы, с помощью которых выражают производные, используя алгебраические выражения (функции), называют разностными схемами. Расчетная сетка может быть как равномерной по направлениям х, у, 1, так и неравномерной. Неравномерная расчетная сетка используется в те случаях, когда требуется уточнение параметров течени в специфических областях потока жидкости. Типичная расчетная сетка для простых одномерных задач показана н рис. 16.1.

Рис. 16.1. Неравномерная конечно-разностная расчетная сетка.

Из математики известно, что производной от функции /(.г) называется выражение, определяемое пределом:

где Ах — приращение аргумента, тогда для непрерывной функции/(х, ?), выбрав равномерную расчетную сетку с интервалом Ах, точками *,•_! х_;+ для момента времени ?," ап проксимировать производную в точке 1: можно следующим образом:

т.е. существуют различные способы аппроксимации как производных, так и самих сеточных функций.

Разностные схемы бывают явными, когда гидравлические переменные в любой точке для момента времени ?"₊₁ могут быть вычислены по известным значениям в соседни точках для времени ?", и неявными, которые требуется решать одновременно во всех точках в момент времени Ь_п+ Неявные схемы требуют решения системы алгебраически уравнений с использованием граничных условий. Явные схемы не приводят к системе уравнений, поскольку расчет для конкретной точки может быть выполнен самостоятельно. Важнейшим условием соответствия численного решени решению дифференциальных уравнений является соблюдение принципа сходимости разностных схем к истинны решениям уравнений движения.

Принцип сходимости можно определить следующим образом: дискретные решения уравнений движения при сгущении расчетной сетки должны приближаться к их точным решениям.

В данной главе учебника не рассматривается подробно метод конечных разностей, определены лишь суть этого метода и основные понятия, так как существуют подробны описания как этого, так и других численных методов и гидравлических задач, этими методами решаемых, в специальной литературе, например [8, 15, 201. Рассмотрим общу схему применения метода конечных разностей и реализацию его на ЭВМ на конкретном примере решения уравнений Навьс — Стокса.