Разностные схемы с положительной аппроксимацией для многомерного уравнения переноса

1. Следуя [66], рассмотрим вначале многомерное уравнение переноса.

и ограничимся выписанными в (1) членами, поскольку все дальнейшие построения, результаты и выводы не связаны с числом пространственных переменных Х|, х₂,…,. Введем разностную сетку.

сеточную функцию и" ^ _mj = v (tⁿ, Х_mi, х₂m_a) ^и Для произвольного сеточного шаблона, включающего узловые точки’А; = 1,2,… * К,

запишем все допускаемые этим сеточным шаблоном линейные разностные схемы в виде.

с неопределенными коэффициентами ос_к, совокупность которых.

как и в одномерном случае, будем рассматривать в качестве линейного пространства с евклидовой метрикой. Первым дифференциальным приближением разностных схем (3) будет.

Условиями аппроксимации первого порядка являются линейные относительно неопределенных коэффициентов а* уравнения.

условиями второго порядка аппроксимации — аналогичные соотношения.

и Т.Д.

Наряду с пространством, а будем использовать также линейное пространство.

с размерностью на 3 меньше, чем (4), которое получается после исключения с помощью (6) трех каких-либо коэффициентов, например,.

Любая точка в пространстве (8) является разностной схемой первого порядка точности и, как и в одномерном случае (разд. 1), будем предполагать, что близким в этом пространстве точкам А, В> например, в евклидовой метрике.

соответствуют близкие по своим свойствам (точности, устойчивости, величине монотонности или немонотонности и тщ.) разностные схемы.

Три условия аппроксимации второго порядка точности (7), каждое из которых определяет в пространстве (8) гиперплоскость (а в совокупности они определяют в этом пространстве все множество разностных схем с порядком аппроксимации выше первого), с использованием (9) могуть быть записаны в виде

Здесь 6* (J = 1, 2, fc ^s 1,…, К) _у Д* (Л: = 1,2,3) определяются соотношениями (9).

Заметим, что на сеточном шаблоне из четырех узловых точек (одна из которых рассчитываемая), не лежащих в одной плоскости, строится единственная схема первого порядка точности, для которой.

Соответственно разностная схема второго порядка точности может быть построена на сеточном шаблоне, включающем семь и более узловых точек, причем таких, чтобы линейная система (6), (7) была разрешима.

2.

Введение

пространства неопределенных коэффициентов (4) позволяет для произвольных сеточных шаблонов (2) найти все множество разностных схем с положительной аппроксимацией, для которых.

Общее решение этой задачи, т. е. вектор а = | а_г,…, а_к , как и в одномерном случае (разд. 1), является линейной комбинацией с неотрицательными коэффициентами у_ь (в сумме равными единице) частных решений, т. е. векторов а_ь = | а%,…, сР_к, соответствующих вершинам замкнутого многогранного множества (6), (13).

Для векторов a_b = | ! с тремя положительными компонентами.

aj > 0, k = *i, к_2у к_3у определяемыми соотношениями (12) (остальные aJ = 0), и соответствующих им в пространстве, а разностных схем может быть доказана следующая теорема 1:

Все разностные схемы с положительной аппроксимацией, соответствующие вершинам замкнутого многогранника (6), (13), строятся на четырехточечных сеточных шаблонах, включающих, помимо рассчитываемого еще три сеточных узла, причем таких, что точка пересечения характеристики уравнения (1), исходящей из рассчитываемого узла, с плоскостью в пространстве |1, х_х, х₂ I, проходящей через остальные три узла сеточного шаблона, лежит внутри или на границах построенного на этих узлах, как на вершинах, треугольника. Коэффициенты a*, к = к_1у к_2у к₃ таких разностных схем единственным образом определяются из соотношений (12).

Для доказательства данного утверждения рассмотрим трехмерное пространство I V, Mi, /1_а J, v = (t - /")/т, щ = (*/ - x:/_т/)/й/, j = 1, 2. Пусть в этом пространстве радиусы-векторы указанных трех сеточных узлов имеют координаты г* =* | у*, Д|*, д₂* |> к = к_1у к_2у к_3у радиус-вектор рассчитываемой точки Я: т_н = J 1, 0, 0 I, точка пересечения характеристики уравнения (1) с плоскостью v = 0 соответственно г. = J 0, — aj, — о₂1 .

Тогда уравнение плоскости, проходящей через сеточные узлы т_к> будет а уравнение характеристики При этом, если все.

то г описывает на плоскости (14) все точки, лежащие внутри и на границах треугольника с вершинами т_к, к =k_lf к₂, к₃. Для точки пересечения характеристики (15) с плоскостью (14) имеем.

откуда для определения f}_lx% /3_2х, 0з* получим, исключая у_ХУ линейную систему уравнений:

Сопоставляя (16), (17) с (6), (13), нетрудно видеть, что обе эти системы эквивалентны, если положить (З_кх = а_к, что и доказывает теорему. Этот результат аналогичными построениями легко может быть перенесен на случай произвольного числа независимых переменных. Для одномерного случая аналогичное утверждение доказано в работе [57].

3. После того как найдено все множество разностных схем с положительной аппроксимацией, естественно поставить вопрос о том, существуют ли среди них схемы с более высоким, чем первый, порядком точности на решениях (1). Для одномерного случая, как известно (см.: [57,60]), ответ отрицательный.

Рассмотрим величины 6ц = 6ц (а) и б₂₂ = б₂₂(а) ^из (7) для найденных разностных схем (3), (13), которые пропорциональны коэффициентам аппроксимационной вязкости в (5), с другой стороны — являются во введенном пространстве (4) расстоянием (с учетом знака) от какой-либо точки многогранника (6), (13) до_гиперплоскостей 8ц =0иб₂₂ =0 соответственно (величина 8_i2 = 6j₂(a) — аналогичное расстояние до гиперплоскости 6 j ₂ = 0).

Непосредственной подстановкой находим, что.

т.е. гиперплоскости бц = 0 и б₂₂ = 0 не имеют пересечений с многогранником положительных схем (6), (13)" за исключением тривиального случая, когда характеристика уравнения (1), исходящая из рассчитываемой точки, проходит через один из узлов сеточного шаблона. В этом случае одной из своих вершин многогранник (6), (13) соприкасается с пересечением гиперплоскостей бц =0, б₂₂ ⁼ 0- Таким образом, доказана аналогичная одномерному случая [57] теорема 2.

Для произвольных сеточных шаблонов (в том числе неявных и многослойных) среди линейных разностных схем (3), (13) не существует схем с порядком аппроксимации на решениях (1) выше первого. Как и предшествующая, данная теорема легко обобщается на случай произвольного числа независимых переменных.

4. Далее естественно поставить следующие две сопряженные задачи оптимизации. Во-первых, задачу отыскания наиболее точной разностной схемы среди схем с положительной аппроксимацией (3), (6), (13) (например минимизируя коэффициенты аппроксимационной вязкости бх _1э б₂₂ выбором соответствующего сеточного шаблона), во-вторых, наоборот, задачу поиска среди, как установлено, всегда немонотонных линейных разностных схем с порядком аппроксимации на решениях (1) выше первого такой схемы, которая в том или ином смысле (например, в смысле расстояния (10).

в пространстве коэффициентов а) наиболее близка к множеству схем с положительной аппроксимацией — (3), (6), (13).

Первая из этих задач легко решается, если в качестве минимизируемого функционала выбрать величину.

(расстояние от множества схем с положительной аппроксимацией (6), (13) до гиперплоскости б, = 0, которой принадлежит все множество схем с порядком аппроксимации выше первого — (6), (7)). Подставляя выражения для бц, б₁₂, б₂₂ из соотношения (7) в (18) и учитывая, что вектор нормали, исходящей из сеточного узла г = t_k=v_ki р _lk, p₂k i к характеристике (15) есть n_k = г# - г* + у (*н — г.), у = = (гя — ^гк> ^гя — г,)/(г_я — г*)², а квадрат расстояния от сеточного узла г = т_к до этой характеристики соответственно | п* |² =.

= - [Оя — г*)²(гя — г.)² — (г_н — Т_к, гя — г.)²1/(гя — Г.)² > О, получим, что для произвольной точки а.

Для разностных схем с положительной аппроксимацией, все коэффициенты бинацией с неотрицательными коэффициентами, в сумме равными единице, квадратов расстояний от сеточных узлов до характеристики (15). Минимальное значение 6, = 6_Ф (а через этот параметр также 6j 1,622) достигается при использовании сеточного шаблона, удовлетворяющего условиям теоремы 1 и составленного из рассчитываемой точки Н и трех ближайших к характеристике (15) сеточных узлов. В пространстве, а такой схеме будет соответствовать одна из вершин замкнутого многогранника (6), _ч -> ->оп.

(13) а = а" .

Таким образом, решение первой из сформулированных задач построения оптимальных разностных схем дается теоремой 3.

Наиболее точной положительной разностной схемой первого порядка аппроксимации (3), (6), (13) является схема, построенная на сеточном шаблоне, удовлетворяющем условиям теоремы 1, включающем рассчитываемую точку и еще три узла, ближайших в пространстве, х_х, х^ к характеристике уравнения (1), исходящей из рассчитываемой точки. Как и две предыдущие, теорема 3 справедлива при произвольном числе независимых переменных х_х, х₂, … Ее одномерный аналог предложен в работе [57] и описан в разд. 1.

Для решения второй из сформулированных задач оптимизации достаточ;

— - н* н>оп, но из найденной выше точки а = а_ь опустить нормаль на пересечение гиперплоскостей (7), т. е. такая схема со вторым порядком аппроксимации на решениях (1) находится из соотношений.

в которых, как и всюду выше, (а, Ь) означает скалярное произведение векторов, векторы Сц, С|2, с*₂ ^и скаляры b_ix, Ь _Х2, Ъ₂₂ определяются из (11).

Аналогичным образом можно построить оптимальные в рассматриваемом смысле (с минимизацией расстояний в пространстве коэффициентов разностных схем а) схемы с порядком аппроксимации выше второго, а также гибридные разностные схемы (1.46).

5. Рассмотрим некоторые примеры разностных схем из числа обсуждавшихся в п. 2−4 применительно к сеточному шаблону с узловыми точками 1−6 на плоскости t — tⁿ (рис. 4.18) для случая о_х > 0, 02 > 0. Выбор указанных условий и шаблона не принципиален и обусловлен лишь 142.

Рис. 4.18.

возможностью графического представления результатов анализа разностных схем в данном случае в трехмерном пространстве коэффициентов.

= {а₄, а₅, а₆ и наличием непустого при о_х < 1, Oj < 1 множества схем с положительной аппроксимацией.

На рис. 4.19 для случая о_х = о* = 0,5 изображен замкнутый многогранник разностных схем с положительной аппроксимацией, вершины которого Ак (А: = 1, 2, …) соответствуют следующим разностным схемам (недостающие коэффициенты а₂, а₃ в (3) определяются соотношениями (9)):

Остальные вершины этих многогранников при Oi > 0, 02 > 0 практического интереса не представляют, поскольку заведомо уступают разностным схемам (19) — (22) по точности.

Точкой В₂ на рис. 4.19 с коэффициентами.

отмечена единственная на данном шаблоне разностная схема второго порядка точности (один из вариантов схемы II из разд. 3 гл. III в линейном скалярном случае). Точке В_х соответствует разностная схема, для которой В (5) — $ 7‘i = 0, а коэффициент при и _{v v} ^ О (т.е. 6 j ₂ — — 0 Од ^ 0) и для которой

В соответствии с теоремой 3 наиболее точными разностными схемами с положительной аппроксимацией (наиболее близкими в пространстве, а к точке В₂) будут следующие схемы: (19) при 0 < о_х < 0,5, 0 < о₂ < 0,5; (20) при 0,5 < aj< 1, 0 <02 < 0,5; (21) при 0 < о_х < 0,5, 0,5 < Oj < 1; (22) при 0,5 < 0 < 1, 0,5 < Ог < 1. В этом можно убедиться и непосредственно, анализируя для каждой из них величину г в (10) и коэффициенты § i ь б₁₂, 5₂2 в (7) в зависимости от Oj, 02.

Для широко распространенного в вычислительной практике сеточного шаблона с узлами 1−9 на слое t = tⁿ (рис. 4.18) пространст;

во, а = j а₄, а₉ (является шестимерным. Для удобства обобщения рассматриваемых ниже разностных схем на случай квазилинейных систем уравнений гиперболического типа и построения консервативных схем посредством линейного преобразования.

=<

перейдем к также шестимерному пространсту 0 = | (3_t,…, 0₆ J и выполним в нем все предшествующие построения.

Тогда на рассматриваемом шаблоне шестипараметрическое семейство разностных схем первого порядка аппроксимации (со свободными параметрами 01,…, 06) (3), (6) можно записать в виде.

При выполнении условий (7) или.

(23) определяет трехпараметрическое семейство разностных схем второго порядка точности на решениях (1).

При | a_t I <0,5, | a₂ I < 0,5 наиболее точной схемой с положительной аппроксимацией на этом шаблоне является устойчивая и монотонная при | а, | + | о₂ I < 1 схема I из разд. 3 гл. III:

Для других значений o_l9 о₂ в области | о_х | < 1, I а₂ I < 1 наиболее точную схему с положительной аппроксимацией можно записать в виде.

Максимальное значение r_L = r_Lmhx «0,33, отношение ^max/^mu ^%2,7 достигается при | о_х | = | а₂ I = 0,5.

Для широко распространенной в вычислительной практике схемы Маккормака [59] имеем.

если по обоим пространственным направлениям используются одинаковые (обе ''вперед" или обе ''назад") односторонние разности.

когда по одному пространственному направлению используются односторонние разности ''вперед", а по другому — «назад» (или наоборот).

Для варианта (29) этой схемы при | a_t I < 0,5, | о₂ | < 0,5.

и максимальное значение г_м = г_{м тах}, достигаемое при I | = | о₂ I = 0,5, зависит от знаков о, а_г. Еслио, о₂ > 0 то г_{м тах} = 0,125 (г_{м тах}/т?5,_ах «» 1,04), а если а, о, < 0, то г_Мтах «0,28 (r_{M тах}/г^_ах «2,8). Вариант (30) предпочтительнее использовать наоборот, когда Oja₂ < 0 (г_Мтлх = = 0,125) и невыгодно, когда Oia₂ >0 (г_Мтах ^% 0,28). Видно, что схема Маккормака является более гибкой по сравнению со схемой Лакса—Вендроффа, если только выбирать в ней нецентральные (односторонние) разности по направлениям х_х и х₂ в зависимости от знаков о_х и о₂, т. е. полагать.

Этот вариант схемы Маккормака по своим свойствам не намного проигрывает оптимальной схеме (27).

На рис. 4.20, 4.21 представлены результаты численного решения уравнения (1) с Xj = 1, Х₂ = o₂/aj в квадрате 0 < 1, 0 <�х₂ < 1 с начальными и (0, х_х, х₂) = 0 и граничными условиями, обеспечивающими движение слева направо под углом в 45° к оси х_х единичного по амплитуде разрыва в и. Положение линий разрыва в v через 140 (рис. 4.20) и 70 (рис. 4.21) шагов по времени показано в центральной части рисунков. Расчеты проведены при а_х = 0,25, а₂ =-0,25 (рис. 4.20) и а_х =0,9, о₂ = -0,1 (рис. 4.21) на сетке с 71 X 71 узлами (h_x = h₂ = 1/70). Приведены зависимости v от т = x_x/h_x + 1 вдоль линий х₂ = 60Л₂ (или / = 61). Штриховой ломаной показано точное решение. Сплошными кривыми нанесены результаты расчетов по ''оптимальным" схемам (26) (кривые 1 на рис. 4.20, а, 4.21, а) и (27) с у = 0 (кривые 2 на рис. 4.20, а, 4.21, а), а также по схемам Лакса— Вендроффа (28) (рис. 4.20, г, 4.21, г), ''оптимальной схеме Маккормака" (31), т. е. в данном случае, для которого о_хо₂ < 0, по (30) (рис. 4.20, б, 4.21, б) и по варианту схемы Маккормака (29), который для данного случая с о_х о₂ < 0 не является оптимальным (рис. 4.20, в, 4.21, в). Точками на рис. 4.20, д, 4.21, а показаны результаты расчетов по гибридной схеме (27), в которой параметр у связывался с поведением искомо;

Рис. 4.20

Рис. 4.21.

го решения так, чтобы в области гладкого решения у «0, а вблизи разрыва 7 «1. Видно, что результаты расчетов по сравниваемым схемам находятся в полном соответствии с анализом их свойств в пространстве коэффициентов. На рис. 4.22 приведены результаты расчетов по схемам (26) (кривые 1), (27) с у = 0 (кривые 2) и (27) с выбором у в зависимости.

Рис. 4.22.

от проведения решения для случая о_х = 0,75, о₂ = -0,75 (при о_г = 1, о₂ = — 1 все эти схемы воспроизводят точное решение). Аналогичные рис. 4.20, 4.21 зависимости здесь показаны для различных значений х₂ = = (/— 1) Л₂, а именно для / = 11,21,41 и 61.