Теория чисел (отношений) и действительные числа

С самого начала развития математики в арабских странах большое место в ней занимают приближенные вычисления, необходимые для составления тригонометрических и астрономических таблиц, определения различных геометрических величин (длины окружности, элементов правильных многоугольников и многогранников и т. д.). Быстрое развитие числовой алгебры и ее геометрических приложений вели к тому, что иррациональные числа все чаще и чаще входили в употребления и становились предметом исследования. Например, простейшие операции с радикалами вида или производил ал-Хорезми. Вскоре известными становятся более общие правила, которые записываем в виде формул.

.

частое оперирование алгебраическими иррациональностями в их арифметической форме подготавливало почву для выделения понятия об иррациональном числе. Иррациональное число начинает представляться более простым объектом, чем античные несоизмеримые отрезки. Так, иррациональные величины и их преобразования поясняются с помощью соответствующих арифметических иррациональностей. Например, ибн ал-Багдади (ок. 1100г) дает следующие иллюстрации примеров на преобразование величин, выраженных формула.

или ;

и и др.

Постепенно числовая иррациональность становится иррациональным числом; вместе с тем любые отношения величин воспринимаются как число. Такое расширение понятия о числе могло явится лишь результатом теоретического исследования.

О.Хайям выражает определение пропорций как равенство двух отношений через равенство всех соответствующих искомых частных разложений этих отношений в непрерывные дроби.

и и т. д.,.

т.е. если для всех.

Он пытается доказать принцип существования четвертой пропорциональной к трем данным величинам. Далее О. Хайям развивает учение об умножении и делении отношений, необходимых в приложениях к практическим вычислениям.

В заключении он подходит к обобщению понятия числа на любые положительные действительные числа.

Что касается понятия об отрицательных числах, возникшем в Китае и Индии то, оно не нашло сколько-нибудь заметного применения в арабской науке. У самаркандского математика Ал-Кушчи (ум. 1474) в «Мухамедовом трактате по арифметике» встречается термин мусбат и манори употребляемые в значении «прибавляемое» и «отнимаемое». Математики западной Европы, познакомившиеся с сочинением Ал-Кушчи через византийцев перевели эти термины на латынь как positivus и negativus и стали обозначать ими положительные и отрицательные числа (в этом смысле термины Кушчи применяются и ныне в Турции, Иране, Азербайджане и средней Азии).

Достижения в теории чисел были менее значительны. Все же следует отметить решение неопределенных уравнений первой степени и их систем в целых числах, требовавшие терпеливых расчетов. Так, Абу Камил в «Книге редкостей в арифметике» нашел все 2676 целых решений системы.

.

.

Были рассмотрены и некоторые задачи на решение в целых числах уравнений второй степени. Замечательно то, что математики стран ислама впервые высказали утверждение, составляющие первый частный случай великой теоремы Ферма, именно, что уравнение неразрешимо в рациональных числах (кроме тривиального случая, когда хотя бы одна из неизвестных равна нулю). В свою очередь, это утверждение связано с предположением о неразрешимости в рациональных числах задач об удвоении куба, которое должно было возникнуть еще у древних греков.

Предполагают, что известный математик и астроном Абу Махмуд Хамид ал-Ходжанди (Как показывает это имя, ал-Ходжанди происходит из города Ходжента — г. Ленинабада). Доказал неразрешимость уравнения в рациональных числах. Но доказательство не сохранилось. Сабит ибн Корра посвятил «Книгу о нахождении дружественных чисел легким способом» изложению способа образования дружественных чисел, т. е. пар чисел, каждое из которых равно сумме делителей другого.

Математика стран Ислама оказала исключительное влияние на развитие математики, как на Востоке, так и на Западе. В 13 веке появились исследования по сферической тригонометрии. С начала 11 века в течение 100 лет распространение сведений, полученных с Востока, имело в развитии математики в Европе решающее значение. В 12 веке в Испании достигает расцвета деятельность переводчиков арабских и переведенных с греческого сочинений. Переводятся ряд сочинений Ал-Хорезми, Бану Муса, Ибн Корры, и других математиков Востока и по существу создается латинский вариант арабской математической литературы. В эти районы Испании приезжают многие ученые Европы познакомиться с математикой и естественными науками. Европейцы изучали арабскую литературу не только в Испании. Итальянец Леонардо Пизанский обучался математике в Северной Африке и объехал многие страны Востока. Переводы с арабского продолжали играть существенную роль и позже, когда в Европе наметились собственные оригинальные направления.

Начиная с XIV века основным путем влияния ученых стран ислама на Европу становится Византия. В результате взятия Константинополя турками византийские ученые знакомились с открытиями ученых самаркандской школы, о чем свидетельствуют многие рукописи византийских ученых.

О влиянии науки стран ислама на науку Европы говорят такие наши термины как «арабские цифры», «алгебра», «алгоритм», «цифра», «корень», «синус». Арабского происхождения также многие астрономические термины большинство названий звезд.