Статистическое моделирование при решении детерминированных задач

Метод статистических испытаний может быть использован как численный метод решения и математических задач. Именно в таком качестве он был применен в США в 1944 г. Джоном фон Нейманом (1903— 1957) при расчетах по созданию ядерного реактора.

Применение метода рассмотрим на примере вычисления некоторого интеграла.

Пример 3.4.

Пусть 0 </00 < 1, 0 <�х< 1. Полагаем, что функция/00 такова, что интеграл относится к неберущимся.

Требуется вычислить S = f (x)dx.

о.

Решение

Представим функцию в координатах Дх) их, как показано на рис. 3.7. Как известно, численное значение интеграла данного вида (определенного интеграла) равно площади S фигуры, ограниченной кривой, описываемой подынтегральной функциейДх). Площадь S состоит из множества элементарных площадок. Количество элементарных площадок (например, точек) в этой площади и будет численным значением искомого интеграла.

Рис. 3.7. К вычислению интеграла.

Имитируем координаты каждой точки значениями х, и y_i; принадлежащими равномерному распределению на участке [0; 1]:

Рассмотрим пару чисел х, у_г Вычислим/(х,) и сравним су,. Если /(х,) <�у, то это означает, что точка М (х,-, у₍) принадлежит площади S. Если Дх,) > у, то это означает, что точка М (х"у,) не принадлежит площади S.

Введем переменную

N

Число точек, попавших в границы S, равно ?^zi. где N — общее число м.

точек, попавших в единичную площадь существования функции и аргумента. Отсюда следует:

Чем больше будет элементарных площадей — точек, тем точнее будет вычислен интеграл. Приведенное решение примера справедливо для единичных областей существования функции и аргумента. Однако это несущественно, так как произвольные границы существования а <�х< Ь, 0 </(х) < А заменой переменных можно свести к единичным границам.

Известны статистические алгоритмы численного решения многократных интегралов.

Пример 3.5.

1 1.

Найти оценку Г интеграла / = J dxj (х + y) dy.

о х.

Решение

Область интегрирования ограничена линиями у =х, у = 1, х = 0, т. е. принадлежит единичному квадрату (рис. 3.8).

Рис. 3.8. Иллюстрация к примеру 3.5.

Площадь области интегрирования (прямоугольного треугольника) S = = (1 • 1)/2 = 0,5.

в которой М — число случайных точек принадлежащих области интегрирования. У этих точеку,->_><-,?. Если на очередной j-й реализации условие у- > Xj выполняется, то выполняется операция

а число случайных точек М увеличивается на 1: М := М +1.

Результаты моделирования для двух вариантов задания начальных значений генераторов равномерно распределенных случайных чисел приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Результаты моделирования примера 3.5

Из данных табл. 3.2 для первого варианта очевидно, что с увеличением числа реализаций N ошибка AS = S — Г в определении оценки интеграла Г уменьшается и при N = 1 000 000 становится равной нулю. Для второго варианта видно, что ошибка в оценке интеграла равна нулю уже при N = 100 000 реализаций модели.

В заключение параграфа еще раз отметим, что имитационное моделирование целесообразно применять в случаях, когда: • нет законченной математической постановки задачи; • нет аналитических методов решения поставленной задачи; • аналитические методы есть, но они не удовлетворяют требованиям точности и достоверности;

• • аналитические методы есть, но их вычислительные процедуры сложны даже для компьютера;
• • реализация известных процедур сталкивается с недостаточной математической подготовкой исследователя;
• • исследователю нужно знать не только оценки искомых характеристик, но и динамику всего случайного процесса.