Классификация моделей систем массового обслуживания

При моделировании реальных систем с дискретными процессами достаточно широкое применение находят базовые модели в виде СМО, которые могут быть классифицированы (рис. 2.5):

• • по числу мест в накопителе;
• • числу обслуживающих приборов;
• • количеству классов заявок, поступающих в СМО;
• • надежности.

а.

Рис. 2.5. Базовые модели СМО

• 1. По числу мест в накопителе СМО делятся на системы:
  • • без накопителя (СМО с отказами), в которых заявка, поступившая на вход системы и заставшая все приборы занятыми обслуживанием заявок более высоких приоритетов, получает отказ и теряется;
  • • с накопителем ограниченной емкости (СМО с потерями)
  • (рис. 2.5, б), в которых поступившая на вход системы заявка теряется, если она застает накопитель заполненным полностью;
  • • системы с накопителем неограниченной емкости (СМО без потерь) (рис. 2.5, а, в, г, д), в которых любая поступившая заявка всегда помещается в накопитель для ожидания обслуживания.

Как отмечалось ранее, предположение о неограниченной емкости накопителя может использоваться для моделирования реальных систем, в которых вероятность потери заявки из-за переполнения накопителя ограниченной емкости меньше Ю^-3.

• 2. По количеству обслуживающих приборов СМО делятся:
  • • на одноканальные (см. рис. 2.5, а, б, в), содержащие один канал К;
  • • многоканальные (см. рис. 2.5, г, д), содержащие п обслуживающих приборов К₂, …, К", п > 1.

В многоканальных СМО обычно предполагается, что все каналы идентичны и равнодоступны для любой заявки, т. е. при нескольких свободных каналах поступившая заявка с равной вероятностью может попасть в любой из них на обслуживание. При ИМ некоторых реальных систем неразличимость каналов вызывает определенные трудности, например при ИМ автоматической телефонной станции, которая обслуживает большое количество абонентов. Каждый из этих абонентов должен быть идентифицирован (иметь номер). При условии идентичности идентификация в многоканальных СМО отсутствует.

• 3. По количеству классов (типов) заявок, поступающих в СМО, различают системы:
  • • с однородным потоком заявок (см. рис. 2.5, а, б, г);
  • • неоднородным потоком заявок (см. рис. 2.5, в, д).

Однородный поток заявок образуют заявки одного класса, а неоднородный поток — это поток заявок нескольких классов.

Ранее мы отметили, по каким признакам производится разделение множества поступающих в СМО заявок на классы: по длительности обслуживания и приоритетам. Если эти признаки идентичны, то заявки относятся к одному классу.

В зависимости от структуры и свойств исследуемых систем их моделями могут служить СМО различных классов. Одна из возможных классификаций моделей приведена на рис. 2.6.

• 4. В зависимости от характера процессов поступления и обслуживания заявок СМО делятся:
  • • на стохастические, в которых хотя бы один из интервалов поступления или длительности обслуживания заявок одного класса или разных классов или все они носят случайный характер;
  • • детерминированные, в которых интервалы всех поступающих заявок и длительности их обслуживания являются детерминированными величинами.
• 5. До сих пор мы рассматривали СМО, в которых заявки поступали из внешних независимых источников и интенсивность потока заявок не зависела от состояния системы и от числа заявок, уже находящихся в системе. Входящий поток заявок не был связан с выходящим потоком обслуженных заявок. Такие СМО называются разомкнутыми. Варианты разомкнутых СМО приведены выше на рис. 2.5.

Рис. 2.6. Вариант классификации моделей систем массового обслуживания

Существуют также СМО, в которых обслуженные заявки после задержки опять поступают на вход. Интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самой системы. Такие СМО называются замкнутыми. В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных заявок. Пока потенциальная заявка не реализовалась в качестве заявки на обслуживание, считается, что она находится в блоке задержки. В момент реализации она поступает в саму систему. В замкнутых СМО источники заявок наряду с каналами обслуживания рассматриваются как элементы СМО.

Поясним работу замкнутой СМО на примере.

Пример 2.1.

Каждое средство связи (СС) организации может находиться в исправном состоянии или ремонтироваться в мастерской организации (СМО). Если бы каждое неисправное СС сразу попадало к свободному мастеру, никаких очередей из СС, ожидающих ремонта, не было, и граф состояний СС имел бы вид, приведенный на рис. 2.7, а.

На рисунке используются следующие обозначения:

• • Sj — СС исправно;
• • S₂ — СС неисправно, ремонтируется;
• • Х₁ — интенсивность выхода СС из строя;
• • Х₂ — интенсивность ремонта СС одним мастером.

Рис. 2.7. Графы состояний средства связи

а б

В этом случае Х_г и Х₂были бы постоянными величинами.

А теперь предположим, что в мастерской два мастера и неисправные СС могут ожидать ремонта.

В этом случае интенсивность переходов из неисправного состояния в исправное зависит от числа СС, находящихся в мастерской. Обозначим эту интенсивность Х2. Граф состояний СС имеет вид, представленный на рис. 2.7, б.

Общую интенсивность ремонта мастерской обозначим ф (х₂), где х₂ — число поступивших в мастерскую СС.

При х₂ = 2 интенсивность (р (х₂) максимальна и равна (р (2), так как работают оба мастера. При дальнейшем увеличении х₂ интенсивность (р (х₂) возрастать не может. Очевидно, что интенсивность ремонта, приходящаяся на одно СС, находящееся в мастерской, равна.

График зависимости ф (х₂) показан на рис. 2.8, а, Х2 отх₂ — на рис. 2.8, б.

Рис. 2.8. Графики ср (х₂) и ХДх?).

Таким образом, потенциальными заявками являются СС, которые после выхода из строя становятся заявками на обслуживание. Интенсивность поступления зависит от интенсивности ремонта СС.