Модель накопительного счета в схеме сложных процентов

Выберем некоторый промежуток времени на временной шкале, который мы назовем периодом начисления. Процентную ставку за этот период назовем ставкой начисления. Примем сначала предположение о том, что базовый временной период (т.е. единица измерения временных промежутков) совпадает с периодом начисления.

Нашей целью будет построение простейшей модели накопительного счета в схеме сложных процентов. Как и в модели накопительного счета для простых процентов, нас будет интересовать состояние счета в произвольный момент времени. Однако в простейшем случае мы будем рассматривать состояние лишь в конце последовательных периодов начисления. При этом будем считать, что для такой модели выполнены следующие предположения.

• 1. Начальная величина счета равна S₀.
• 2. Проценты начисляются за каждый период начисления, но заданной ставке начисления i.
• 3. Величина процентов за период начисления равна произведению величины счета в начале периода на ставку начисления.
• 4. В конце каждого периода начисления счет увеличивается на сумму начисленных за этот период процентов (т.е. начисленные проценты реинвестируются).

Как будет показано ниже, в этом случае модель накопительного счета в схеме сложных процентов будет описываться формулой

где п — число (целое) периодов начисления, a i — ставка начисления.

Эта простейшая формула совпадает с формулой (8.1), описывающей результат накопления в последовательности простых сделок, если период каждой сделки считать равным периоду начисления. Поэтому данную формулу легче интерпретировать как динамику накопления в постоянно возобновляемой одной и той же кредитной сделке между двумя лицами — кредитором и должником, например между вкладчиком и банком.

Прежде чем вывести формулу (8.2), рассмотрим простой пример.

Пусть инвестор кладет в банк на год сумму 500 руб. под 8% годовых. Это значит, что в конце года инвестор кроме вложенных денег получит добавочно проценты по вкладу, составляющие сумму.

Следовательно, общая сумма вклада к концу первого года составит.

Реинвестирование вкладчиком этой суммы еще на один год под те же 8% годовых даст ему в конце года проценты на сумму

а полная сумма вклада станет равной.

Заметим, что этот результат можно представить в виде суммы.

Здесь 500 руб. — начальная сумма вклада, 80 руб. — проценты на эту сумму за два года и 3,2 руб. — проценты за второй год на сумму реинвестированных в конце первого года 40 руб., полученных в качестве процентов за первый год.

Рассмотрим эту схему в общем случае. Для простоты будем считать базовым периодом один год.

Пусть S₀ — начальная сумма, a i — годовая процентная ставка. Тогда за первый год проценты составят.

и величина счета увеличится до.

Проценты за второй год составят а сумма вклада увеличится до.

Для любого года можно получить аналогичные соотношения. Так, если величина вклада в конце k-vo года равна S_k, то проценты за (к + 1)-й год будут равны.

а сумма вклада в конце (k + 1)-го года станет равной.

Таким образом, за каждый год величина вклада увеличивается в 1-и раз. Следовательно, начальный вклад S₀ к концу гг-го года станет равным.

Величина S" называется накопленным или будущим значением исходной суммы S₀. Множитель.

называется годовым коэффициентом (множителем) роста, а множитель.

— коэффициентом {множителем) роста за п лет по сложным процентам.

Различием между простыми и сложными процентами в модели накопительного счета является то, что в первом случае проценты на исходный капитал не присоединяются к нему на каждом периоде начисления, во втором же случае они присоединяются к нему, т. е. инвестируются снова или реинвестируются на тех же условиях, что и основной капитал.

Уравнения.

полученные выше, вместе с начальными условиями полностью описывают динамику накопления в схеме сложных процентов.

Важно различать величину J_п процентов за п-й год и проценты /[О, гг] за гг лет. Формально последняя величина определяется как прирост начальной суммы вклада за гг лет:

Более общим образом можно определить проценты за любой период k, n

т.е. как прирост суммы вклада за этот период.

Пример 1. Начальная сумма вклада составляет 300 руб.,.

а ставка начисления равна 5% за сод. Найти:

• а) накопленную сумму и проценты за первые 3 года,
• б) проценты за 3-й год,
• в) накопленную сумму за 6 лет,
• г) проценты за последние 3 года.

Решение.

а) Накопленная сумма за первые 3 года согласно формуле (8.2).

равна

а проценты за этот период составят.

б) По формулам (8.7) и (8.2) определяем проценты за 3-й год:

• в) По формуле (8.2) находим теперь накопленную сумму за
• 6 лет:

• в) Наконец, по формуле (8.7) найдем проценты за последние
• 3 года:

В проведенном выше анализе мы считали, что период начисления совпадает с базовым периодом временной шкалы. Хотя этого всегда можно добиться, просто выбрав единичный период шкалы, равный периоду начисления, на практике их несовпадение встречается достаточно часто. В связи с этим обобщим описанную выше модель на случай, когда период начисления необязательно совпадает с единичным промежутком шкалы.

Выберем временную шкалу с базовым (единичным) временным периодом е. Выберем также произвольный период h, который мы назовем периодом начисления, и его длину относительно выбранного базового периода обозначим через к.

Свяжем с выбранным периодом начисления некоторую процентную ставку i_h которую будем называть ставкой за период начисления h или просто ставкой начисления.

В том случае, когда период начисления h совпадает с базовым периодом временной шкалы е, т. е. h = 1, ставка начисления называется нормированной.

В частности, для нормированных ставок, т. е. при h = 1, соответствующее обозначение ставки начисления будет ц. Однако в этом случае мы, как правило, будем опускать индекс в обозначении ставки и писать просто i.

Рассмотрим теперь динамику вклада с начальным состоянием (?₀,), периодом начисления h и ставкой начисления i_h.

Считая выполненными условия, аналогичные условиям 1—4, при которых была выведена формула (8.2), согласно логике итерационного инвестирования, которая использовалась нами при выводе формулы (8.2), получим, что состояние вклада в момент времени t_n =t₀ +nh_y являющегося концом п-го периода начисления, задается выражением.

Формула (8.8) по существу тождественна формуле (8.2). Различие состоит лишь в том, что в формуле (8.2) единица измерения временных промежутков совпадает с периодом начисления, иными словами, временные промежутки в формуле (8.2) выражаются в терминах периода начисления, а в формуле (8.8) — в терминах единичного промежутка временной шкалы.

Для нормированных ставок начисления (/г = 1) формула (8.8) превращается естественно в формулу (8.2).

Важно понимать, что формула (8.8) определена лишь для моментов времени t_n =t₀+nh, пе N.

Содержательно эти точки представляют собой концы последовательных периодов начислений (относительно начальной точки t₀). Будем называть эти точки (моменты) кратными. Им соответствуют периоды длины.

или в общем случае длины.

кратные периоду начисления.

Таким образом,.

Выбирая начальный момент инвестирования t₀ совпадающим с начальным моментом временной шкалы (t₀ =0 и t_n =Т_п) получим упрощенные выражения.

Постоянство ставки начисления позволяет ввести коэффициент (.множитель) роста за период начисления:

С помощью коэффициента роста динамика накопления будет описываться равенствами.

Выше для накопительной модели с годовой временной шкалой мы определили понятие процентов за год и за п лет. Аналогичные определения имеют место и в общем случае, когда единица временной шкалы и период начисления не совпадают. Величина.

называется процентами за k-й период начисления. Ясно, что.

Тогда легко найти проценты /[^, ?_я] за любой кратный период [**,?"], k

Отсюда следует, что проценты за любой кратный период являются суммой процентов за последовательные периоды начисления, составляющие этот период:

Пример 2. Начальная величина вклада составляет 200 руб. Период начисления равен 1 месяцу. Найти накопленную сумму и проценты за 5 лет и 3 месяца, если месячная ставка начисления по вкладу равна 3%.

Решение. Срок в месяцах составляет п = 63. Следовательно, а проценты за этот период составят.

Как уже отмечалось выше, формулы (8.2)—(8.16) определены лишь для кратных точек t_n =t₀ + nh. Учитывая этот факт, описанную в предыдущем параграфе модель будем называть дискретной. Динамика накопительного счета в дискретной модели отражается равенством.

Заметим, что состояние счета в промежутках между моментами начисления kh (т.е. моментами, когда счет меняет свое состояние) в рамках этой модели является некорректным. На практике, конечно, вкладчик может закрыть счет в любой момент времени, так что банк тем или иным способом должен определить возвращаемую сумму вклада. С формальной точки зрения эта проблема состоит в доопределении функции S_r для моментов времени, не кратных периоду начисления. Мы остановимся здесь лишь на одном, наиболее часто употребляемом на практике способе доопределения S_t. Этот способ состоит просто в «аналитическом продолжении» формулы (8.17) на произвольные значения t

Получаемая модель называется непрерывной моделью накопительного счета в схеме сложных процентов.

Пример 3. Пусть начальный вклад составляет 1000 руб., ставка начисления за год равна 8%. Найти накопленную сумму вклада за 2 года и 3 месяца для непрерывной схемы начисления. Решение. Выбирая шкалу с годовым базовым промежутком, получим.

Следовательно, имеем