Функциональные уравнения. 
Физические основы математического моделирования

Функциональные уравнения нередко появляются при математическом моделировании весьма общих свойств различных систем.

Рассмотрим функциональное дифференциально-разностное уравнение.

и обсудим возможные подходы к решению этого уравнения.

Уравнение (11) может быть решено с помощью 6-функции Дирака. Будем искать его в виде.

где К (х, у) — новая неизвестная функция. Тогда.

Используя уравнение (11), с помощью (13) получаем.

Уравнение (14) будет удовлетворено, если выбрать функцию К{х, у) в виде.

где 5(х) — 5-функция Дирака. Подставляя (15) в выражение (12) и полагая w = е^у, получим где

В то же время мы можем начать решение уравнения (11) с некоторого обобщения выражения (16):

Подстановка этого выражения в уравнение (11) приводит к уравнению.

Это означает, что функциональное уравнение (11) может быть решено, если имеет решение дифференциатьное уравнение.

Функциональные уравнения могут возникать в результате обобщения хорошо известных соотношений между тригонометрическими или гиперболическими функциями. Например, известная тригонометрическая формула.

может быть переписана в более общей форме:

приводя к функциональному уравнению.

Некоторые из наиболее важных функциональных уравнений известны под именами изучавших их математиков: уравнение Абеля

для функции Дх) при заданной функции g (x) и постоянной а; уравнение Коши

уравнение Пифагора

уравнение Пуассона уравнение Шредера.

для функции /(х) при заданной функции g (x) и постоянной а. Функциональное уравнение может иметь более общую форму, например

Уравнение Коши является частным случаем более общего уравнения.

к которому приводят и обобщения некоторых других уравнений, например обобщение такого уравнения:

Функциональные уравнения могут содержать разностные, дифференциальные и интегральные операции и могут сводиться к может быть в некоторых случаях сведено к функционально-разностному уравнению. Так, если предположить периодичность функции g (x) с периодом, равным единице:

некоторым уравнениям других типов. Например, функциональное уравнение.

то уравнение (31) можно записать в виде.

Теперь можно исключить g (x) из уравнений (31) и (33) и прийти к функционально-разностному уравнению.

Примером функционально-дифференциального уравнения является уравнение.

решениями которого при с = 2 являются 0, х, a^-1 sin (ox) и ае*^п‘. Примером интегро-функционального уравнения является.

Уравнение.

является примером интегро-дифференциального функционального уравнения.

Имеется несколько физических проблем, которые непосредственно приводят к функциональным уравнениям. Иногда только после решения соответствующей задачи можно установить, что полученные ответы являются решениями известных функциональных уравнений. И в этом случае проливается дополнительный свет на изучаемый вопрос. Приведем пример.

В статистической физике энтропия S системы может быть определена в виде.

где / — полный набор квантовых чисел, характеризующих определенное состояние, ар, — вероятность реализации этого состояния. Поскольку функция.

является решением функционального уравнения.

то определение (38) содержит в себе предположение о статистической независимости подсистем, на которые может быть разбита изучаемая система.

Другой интересный пример — существование универсальных характеристик, а и б систем с удвоением периода бифуркаций, рассмотренных в подразд. 1.9. Оказывается, что универсальные свойства нелинейных систем, приводящие к этим результатам, отражаются функциональным уравнением.

которое, как было показано М. Фейгенбаумом, определяет единственную функцию, удовлетворяющую всем дополнительным условиям, и единственную постоянную а.

Теория функциональных уравнений стала интенсивно разрабатываться только в последнее время, после того как был осознан фундаментальный характер универсальных свойств моделей нелинейных систем, отражаемых такими уравнениями.

Задачи и упражнения

1. Найдите решение интегро-функционалыюго уравнения.

о.

2. Определите, есть ли вещественные решения у функционального уравнения.

Литература

: [21].