Модель планирования дефицита

Классическая модель определения оптимального размера заказа (формула Уилсона) не допускает возникновения дефицита товарно-материального ресурса, т. е. изначально в идеальных условиях формирования и расхода запаса подразумевается безусловное удовлетворение спроса. Потери вследствие дефицитной ситуации в этих условиях несопоставимы с издержками по содержанию запасов, что достаточно часто встречается в закупочной логистике производственных структур. Кроме того, на многих видах производств простои в принципе просто исключены по технологическим требованиям вне зависимости от причин их возникновения, в том числе и из-за дефицита материально-технических ресурсов. Однако в определенных условиях производства значительных потерь в условиях дефицитной ситуации можно избежать более эффективными способами. К таким способам, в частности, можно отнести временное изменение (корректировку) производственной программы, временную замену недостающих материальных ресурсов другими из имеющихся в наличии, временное изменение поставщика и др. В торговом бизнесе такие задачи описывают ситуацию отсрочки поставки (так называемый случай «терпеливых клиентов») в условиях ограниченности торговых площадей при продаже крупногабаритных и дорогостоящих товаров (автомобилей, мебели и т. д.). Однако любые мероприятия по ликвидации дефицитных ситуаций требуют определенного времени и дополнительных финансовых затрат, зачастую весьма значительных. Поэтому лучше возникновение таких дефицитных ситуаций не допускать, а возможные отклонения от нормального хода логистических и прочих бизнес-процессов компенсировать наличием достаточных страховых запасов.

В определенных ситуациях дефицит все же может быть запланирован, т. е. его величиной и продолжительностью дефицитной ситуации можно управлять. Такие случаи более характерны для торговой (распределительной) логистики, но могут встречаться и в хозяйственной практике бизнес-структур.

Наличие дефицита требует учета определенных методических особенностей в соответствующей модели определения оптимального размера заказа. На рис. 9.5 приведен наиболее общий случай изменения величины текущего запаса при допущении дефицита материального ресурса на одном цикле поставок.

Рис. 9.5. Движение текущего запаса в условиях, допускающих дефицит материального ресурса.

Интервал поставки при заданных условиях формирования и потребления запаса складывается из двух периодов: Г = t_г+ t₂, где t₁ — период наличия запаса, когда происходит его расход от наиболее рационального (или оптимального) максимального уровня (S^max) в начале каждого цикла поставки со средней интенсивностью Ъ до нулевого уровня; t₂ — период дефицитной ситуации, когда наличный запас отсутствует в логистической системе.

Поскольку Т=0/Ъ и f₁=S^max/b, то продолжительность периода дефицитной ситуации составит:

Для заданных условий логистического процесса размер заказа количественно соответствует сумме максимального уровня наличного запаса и максимальному уровню дефицита или Q = S^max + D^max, т. е. каждая очередная поставка покрывает размер допущенного дефицита на предыдущем цикле и формирует наличный запас. Отсюда максимальный уровень дефицита определяется как разность D^max = Q — S^max. При первоначальном запуске системы начальный уровень запаса должен соответствовать его максимальному уровню, т. е. S₀ = S^max.

Как следует из графика (рис. 9.5), для принятых условий будут справедливы соотношения для определения средних величин текущего запаса и дефицита.

что можно вывести также аналитическим и геометрическим способами.

Методика определения оптимального размера заказа в этих условиях принципиально не отличается от вывода формулы Уилсона, но в ней необходимо учесть дополнительные затраты, связанные с дефицитом запаса (или с ликвидацией дефицитной ситуации). Отличительной особенностью данной модели с математической точки зрения является необходимость определения двух неизвестных параметров: размера заказа (Q) и максимального уровня наличного запаса (S^max) или максимально допустимого уровня дефицита (D^max).

Общие затраты по формированию и содержанию запаса, приходящие на одну партию поставки (закупки), будут складываться из трех основных частей:

где L_3aK — затраты по закупке одной партии материальных ресурсов, включая транспортно-заготовительные расходы; L_xp — затраты на содержание (хранение) текущего запаса, включая возможные потери в размере естественной убыли; Ьдеф — потери от дефицита или дополнительные затраты по ликвидации дефицитной ситуации.

Затраты по формированию запаса и его содержанию определяются по аналогии с классической моделью EOQ по формулам (9.2) и (9.3).

Потери от дефицита материального ресурса рассчитываются как дополнительные затраты от допущения среднего дефицита в течение времени t₂:

где g — потери из-за дефицита единицы запаса в единицу времени (в теории запасов данный параметр достаточно часто называют штрафом).

Тогда выражение (9.42) для определения общих затрат по управлению запасом, приходящихся на одну партию закупаемого материального ресурса, с учетом вышеизложенного примет вид:

Удельные затраты, т. е. расходы по формированию и содержанию запаса единицы материального ресурса за один цикл поставки, можно получить делением выражения (9.43) на размер партии поставки Q:

В результате преобразований и некоторых упрощений выражения (9.44) получаем функцию общих удельных затрат:

Далее необходимо взять первые производные от выражения (9.45) по неизвестным параметрам Q и S₀, приравнять их нулю и решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Первые производные от функции общих удельных затрат (9.45) будут иметь вид:

Для проверки вида экстремума необходимо найти вторые производные выражения (9.45) по искомым параметрам. Они будут иметь вид:

Обе вторые производные будут положительными, так как все определяющие их параметры (к, h, g, S₀, Q) являются неотрицательными. Поэтому функция суммарных удельных затрат (9.45) будет выпуклой и, следовательно, искомые неизвестные Q и S₀ будут определять точку ее минимума. Для их нахождения необходимо решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

В результате решения системы уравнений (9.46) получим модель оптимального размера заказа.

и формулу для определения оптимального значения начального (максимального) запаса.

Тогда для заданных условий максимальный размер планируемого дефицита составит:

Остальные параметры (Г* и п*) определяются так же, как и в случае классической модели.

Полученные модели (9.47 — 9.49) позволяют сделать вывод, что все параметры модели управления запасами в условиях, допускающих дефицит, могут быть сведены к классической модели EOQ с учетом соответствующих поправочных коэффициентов. Так, оптимальный размер заказа в условиях планируемого дефицита будет больше размера заказа в идеальных условиях поступления и расхода материального ресурса в yjl+h/g раз. Следовательно, размер заказа во многом будет определяться соотношением удельных затрат на хранение материального ресурса и удельных потерь от планируемого дефицита.

В представленной выше модели рассмотрен самый общий (или простой) случай дефицита. Более сложные (с математических позиций) ситуации предусматривают возможность потери требований покупателей (т.е. предъявленный спрос не учитывается) и планирование дефицита в условиях, когда потери.

9.4. Обобщенная модель оптимального размера заказа… _.

от дефицита не зависят от времени. Подобные хозяйственные ситуации в большей степени соответствуют практике розничной торговли, но их модели не всегда имеют строгое математическое решение. Такие математические модели рассмотрены в книге Дж. Хедли и Т. Уайтина¹, а более детальный их анализ выполнен в монографии профессора А. П. Долгова^[1][2].

• [1] Хедли Дж., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами: пер. с англ.М.: Наука, 1969.
• [2] Долгов А. П. Теория запасов и логистический менеджмент: методология системной интеграции и принятия эффективных решений. СПб.: Изд-воСПбГУЭФ, 2004. С. 171—184.