Уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме. 
Операторные схемы замещения идеализированных двухполюсных элементов

Как следует из ранее рассмотренного материала, используя преобразование Лапласа, каждому уравнению, входящему в систему уравнений электрического равновесия цепи, можно поставить в соответствие уравнение, составленное относительно операторных изображений токов и напряжений. Уравнениям баланса мгновенных значений токов и напряжений соответствуют уравнения баланса операторных изображений токов и напряжений, а компонентным уравнениям, описывающим соотношения между мгновенными значениями токов и напряжений отдельных ветвей, — уравнения, связывающие операторные изображения токов и напряжений тех же ветвей. Вследствие того что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций (6.50), для перехода от уравнений баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уравнениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях (1.39), (1.40) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями:

Если уравнения баланса напряжений формировались относительно мгновенных значений напряжений отдельных элементов (1.41), то в операторной форме эти уравнения принимают вид.

Уравнения (6.58) и (6.59) или (6.60) будем называть уравнениями баланса токов и напряжений в операторной форме, а операторные изображения токов и напряжений — операторными токами и напряжениями.

По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления Z = Z (jco) и комплексной входной проводимости Y = Y (jco) введем понятия операторного входного сопротивления Z (p) и операторной входной проводимости Y (p).

Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях:

где I (p) = i (t) и U (p) = u{t) — операторные изображения тока и напряжения на зажимах двухполюсника при t > 0 и нулевых начальных условиях.

Величина, обратная Z (p), называется операторной входной проводимостью.

Операторное входное сопротивление и операторная входная проводимость пассивного линейного двухполюсника, подобно его комплексному входному сопротивлению и комплексной входной проводимости, не зависят от интенсивноста внешнего воздействия и определяются только параметрами входящих в двухполюсник идеализированных пассивных элементов и схемой их соединения.

Как следует из выражений (6.61), (6.62), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замещения, на которой рассматриваемый двухполюсник представляется своим операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах — их операторными изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, то его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цени.

Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы замещения идеализированных пассивных двухполюсников.

Резистивный элемент. Соотношения между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах резистивного элемента устанавливаются выражениями (1.9), (1.10): u_R = Ri_R; i_R = Gu_r.

Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число (6.49), для получения компонентных уравнений резистивного элемента в операторной форме достаточно в выражениях (1.9), (1.10) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями:

Подставляя соотношения (6.63), (6.64) в формулы (6.61), (6.62), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости резистивного элемента:

Операторная эквивалентная схема резистивного элемента приведена на рис. 6.8.

Емкостный элемент. Напряжение и ток емкостного элемента связаны между собой компонентными уравнениями (1.13), (1.16):

Рис. 6.8. Операторная схема замещения резистивного элемента.

Используя теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем.

Операторные компонентные уравнения емкостного элемента (6.66) и (6.67) являются равносильными и могут быть получены одно из другого с помощью очевидных преобразований. При нулевых начальных условиях (г/_с(0) = 0) они вырождаются в выражения.

откуда находим операторное входное сопротивление и операторную входную проводимость емкостного элемента:

Операторным компонентным уравнениям (6.66) и (6.67) соответствуют параллельная и последовательная схемы замещения емкостного элемента (рис. 6.9, а, б), содержащие независимый источник тока Cud0+) или напряжения ^ис (®+)/Р- При нулевых начальных условиях независимые источники тока или напряжения, характеризующие начальный запас энергии в элементе, выключаются, и в операторной эквивалентной схеме емкостного элемента остается только один элемент — операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость емкости (рис. 6.9, в).

Индуктивный элемент. Мгновенные значения тока и напряжения индуктивного элемента связаны между собой соотношениями (1.22) и (1.23):

Рис. 6.9. Операторные схемы замещения емкостного элемента:

а — параллельная при ненулевых начальных условиях;

6 — последовательная при ненулевых начальных условиях; в — при нулевых начальных условиях Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования (6.52) и интегрирования (6.53), получаем компонентные уравнения индуктивности в операторной форме:

kiP) ⁼ к (Р)/Р + U_L(p)/(pL). (6.70).

Уравнения (6.69), (6.70) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем операторное входное сопротивление и операторную входную проводимость индуктивного элемента:

и строим его последовательную и параллельную схемы замещения (рис. 6.10, а, б). Как и операторные схемы замещения емкостного элемента, операторные схемы замещения индуктивного элемента содержат независимый источник напряжения Li_L(0+) или тока */.(0₊)/р> характеризующий начальный запас энергии в индуктивном элементе. Оператор;

Рис. 6.10. Операторные схемы замещения индуктивного элемента:

а — последовательная при ненулевых начальных условиях;

6 — параллельная при ненулевых начальных условиях; в — при нулевых начальных условиях на я схема замещения этого элемента при нулевых начальных условиях приведена на рис. 6.10, в.

Выражения для операторных входных сопротивлений (проводимостей) идеализированных пассивных элементов имеют ту же структуру_у что и выражения для комплексных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов; они могут быть получены одно из другого путем замены усо на р.

Аналогичным образом может быть найдено выражение для операторного входного сопротивления (проводимости) произвольного линейного двухполюсника, составленного из идеализированных пассивных элементов. Поэтому для преобразования операторных схем замещения линейных пассивных двухполюсников при нулевых начальных условиях можно использовать все рассмотренные ранее (см. п. 2.6) правила преобразования линейных пассивных цепей при гармоническом воздействии, а для преобразования операторных схем замещения тех же участков цепей при ненулевых начальных условиях — правила преобразования активных двухполюсников. В частности, последовательная и параллельная схемы замещения емкостного или индуктивного элемента могут быть преобразованы одна в другую с помощью приемов преобразования активных двухполюсников (см. п. 2.6).

Используя операторные схемы замещения идеализированных элементов, можно получить операторную схему замещения произвольного участка линейной цепи или всей цени в целом. С этой целью каждый идеализированный пассивный элемент, изображенный на схеме замещения цепи для мгновенных значений, должен быть заменен операторной схемой замещения, а токи и напряжения идеализированных источников тока или напряжения — представлены операторными изображениями соответствующих функций.

Операторная схема замещения цепи имеет такую же структуру у что и схема замещения цепи для мгновенных значений, но содержит дополнительные независимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времениу непосредственно предшествовавший коммутации.

Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из рассмотренных ранее методов сформировать систему уравнений электрического равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цепи после коммутации в операторной форме.

Как следует из рассмотренного материала, уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме могут быть построены двумя способами:

• 1) исходя из уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений;
• 2) непосредственно по операторной схеме замещения цепи, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия для мгновенных значений.

Второй способ является менее трудоемким и поэтому он нашел более широкое применение на практике. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операторных уравнений электрического равновесия цепей по их операторным схемам замещения, получил название операторного метода анализа переходных процессов. Этот метод представляет собой дальнейшее развитие операторного метода решения дифференциальных уравнений и позволяет анализировать процессы в цепи после коммутации, минуя этап формирования уравнений электрического равновесия цепи для мгновенных значений токов п напряжений.

Порядок анализа переходных процессов операторным методом. Рассмотрим основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода.

Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Выполняются так же, как и при использовании классического метода анализа переходных процессов.

Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации. Составление операторной схемы замещения цепи производится непосредственно по схеме замещения цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.

Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым из рассмотренных в гл. 4 методов непосредственно по операторной схеме замещения цепи.

Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений. Может производиться любым методом, в том числе с помощью изложенного ранее метода сигнальных графов.

Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, определение оригиналов искомых токов и напряжений производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа [12] с учетом основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов р, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения.

Пример 6.4. Для цепи, схема которой приведена на рис. 6.11, я, найдем зависимость тока i₃ и напряжения индуктивности щ, от времени при t > 0. ЭДС идеализированного источника постоянного напряжения e (t) при t = 0 скачком изменяется от Е1 до Е₂.

а б в

Рис. 6.11. К примеру 6.4

Анализируя процессы в цепи до коммутации, определяем начальное значение тока индуктивности:

Для построения операторной схемы замещения цепи после коммутации (рис. 6.11, б) заменяем идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, а ЭДС идеализированного источника напряжения Е₂ — операторной ЭДС Е₂(р) = Е₂/р. Используя метод контурных токов, составляем систему уравнений электрического равновесия цени в операторной форме:

где

Решая эту систему уравнений, получаем операторные изображения искомого тока

и напряжения.

Преобразуем полученные выражения к такому виду, при котором для выполнения обратного преобразования Лапласа можно было бы непосредственно воспользоваться таблицами, приведенными в приложении 1:

Учитывая, что 1 /(р + а) = e~^at и 1/р (р + а)| = (1 — е ^)/а, находим выражения для искомых тока и напряжения индуктивности при t ^ 0:

где  — постоянная времени рассматриваемой цепи.

Как следует из полученных соотношений, в начальный момент времени ток индуктивности сохраняет то же значение, что и до коммутации О’з (О) = E/R), а затем плавно изменяется, стремясь к E₂/R. Напряжение индуктивности в начальный момент времени скачком изменяется от нуля до Из (0+) = = Ri (E₂ — E)/(R_{ + R₂)i, а затем плавно уменьшается до нуля.

Нетрудно заметить, что в начальный момент времени (t= 0) ток и напряжение индуктивности принимают такие значения, которые они имели бы в случае, если индуктивность была заменена идеализированным источником тока (рис. 6.11, в), ток которого г‘з (0) = E/R. Таким образом, в начальный момент времени после коммутации индуктивность ведет себя подобно идеализированному источнику тока (при нулевых начальных условиях ток этого источника равен нулю, и, следовательно, ветвь, содержащую индуктивность, в начальный момент времени можно считать разомкнутой).