Исследование моделей на основе фундаментальных законов природы

Практическая работаПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Результат решения задачи — вычисление и построение траектории движения планеты при разной начальной скорости и разных массах звезд сведен в таблицу 4.1 и представлен на рисунке 4.1. Величина (модуль) силы притяжения к центру звезды определяется законом всемирного тяготения, где — гравитационная постоянная, — расстояние между центром планеты и центром звезды. Величина силы сопротивления воды прямо… Читать ещё >

Исследование моделей на основе фундаментальных законов природы (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»

Кафедра «Оптические системы связи»

Построение и исследование моделей на основе фундаментальных законов природы Хабаровск

Содержание
Модель движения лодки
1. Цель работы
2. Содержательная постановка
3. Концептуальная постановка
4. Математическая постановка
5. Аналитическое решение
6. Численное решение
7. Расчет
Движение точки под действием центральных сил
1. Цель работы
2. Исходные данные
3. Математическая постановка задачи
4. Расчет
Исследование движения планеты в системе двух звез
1. Цель работы
2. Исходные данные
3. Математическая постановка задачи
4. Расчет

Модель движения лодки

1. Цель работы

Построение и численное решение моделей на основе фундаментальных законов природы (законы Ньютона, Закон всемирного тяготения).

2. Содержательная постановка

Лодку оттолкнули от берега с некоторой начальной скоростью. Необходимо исследовать движение лодки (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 — Схема движения лодки

3. Концептуальная постановка

Рассматривается движение лодки в воде с начальной горизонтальной скоростью под действием силы тяжести, архимедовой выталкивающей силы и силы сопротивления движению, приложенных к центру масс. Так как лодка держится на плаву (движение по вертикали отсутствует), то архимедова выталкивающая сила уравновешивает силу тяжести. Разработку модели будем выполнять при следующих предположениях:

· объектом исследования является лодка, совершающая поступательные движения в горизонтальной плоскости;

· лодку принимаем за материальную точку массы, положение которой совпадает с центром масс;

· движение лодки под действием приложенной системы сил подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона);

· Величина силы сопротивления воды прямо пропорциональна скорости лодки и противоположна по направлению:, где — коэффициент пропорциональности (величина постоянная).

Требуется определить скорость лодки как функцию времени и графически отобразить эту зависимость.

4. Математическая постановка

Уравнение движения лодки в направлении оси х согласно 2-му закону Ньютона и начальное условие имеют вид:

; (4.1)

. (4.2)

Найти .

5. Аналитическое решение

Уравнение решается методом разделения переменных.

; (5.1)

; (5.2)

. (5.3)

6. Численное решение

Подставим производную от скорости ее приближенным разностным значением:

. (6.1)

Уравнение принимает вид:

(6.2)

Отсюда

. (6.3)

модель закон ньютон всемирное тяготение Это соотношение решает поставленную задачу, поскольку позволяет вычислить скорость в произвольный момент времени, зная ее значение в предыдущий. То есть, начиная с начального значения, можно определить, какова будет скорость через время и так далее.

7. Расчет Зададимся следующими данными:,. Уравнения принимают в этом случае вид:

· аналитическое: ;

· численное:, .

Выберем в качестве конечного момента времени. Аналитическое (практически точное) значение скорости в этот момент времени: .

Определим значение этой скорости численным методом, используя различные значения шага, и сведем полученные результаты в таблицу 7.1.

Таблица 7.1



0,001	9,990 000 000	0,1	9,0	0,01	9,900 000 000
0,002	9,980 010 000	0,2	8,100 000 000	0,02	9,801 000 000
0,003	9,970 029 990	0,3	7,290 000 000	0,03	9,702 990 000
0,004	9,960 059 960	0,4	6,561 000 000	0,04	9,605 960 100
0,008	9,920 279 441	0,8	4,304 672 100	0,08	9,227 446 944
0,009	9,910 359 161	0,9	3,874 204 890	0,09	9,135 172 475
0,01	9,900 448 802		3,486 784 401	0,1	9,43 820 750
0,011	9,890 548 353	1,1	3,138 105 961	0,11	8,953 382 543
0,012	9,880 657 805	1,2	2,824 295 365	0,12	8,863 848 717
0,013	9,870 777 147	1,3	2,541 865 828	0,13	8,775 210 230
…	…	…	…	…	…
7,299	0,6 737 497	6,9	0,6 961 986	7,26	0,6 778 776

Как следует из таблицы 7.1, при численном решении верные три значащие цифры получены для шага. Это означает, что при уменьшении шага численное решение приближается к точному. Наглядно это демонстрируется на рисунке 7.1.

Рис. 7.1 — Построение графика для разных шагов интегрирования.

Движение точки под действием центральных сил

1. Цель работы

Определить координаты и компоненты вектора скорости космического корабля вблизи планеты как функции времени, а также траекторию его движения.

2. Исходные данные

Задается шаг интегрирования с и проводятся расчеты при следующих данных: кг (масса Земли), космический корабль находится в начальной точке с координатами м, м, Н^.м²/кг² — гравитационная постоянная. Начальная скорость направлена по горизонтали вправо.

3. Математическая постановка задачи

Найти решение задачи Коши для следующей системы уравнений движения космического корабля:

(2.1)

при начальных условиях .

Строятся разностные уравнения движения космического корабля:

(2.2)

(2.3)

3. Расчет

Результат вычисления представлен на рисунке 3.1 в виде траектории движения корабля при разных начальных скоростях:

=7500м/с, =7923м/с, =10 000м/с, =11 206м/с. Все результаты вычислений сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1


=7500м/с

				— 9,7 734 375
	6 399 999,902	6 399 999,903	7499,999 999	— 19,5 468 753
	6 399 999,707	6 399 999,709	7499,999 997	— 29,32 031 368
	6 399 999,414	6 399 999,418	7499,999 993	— 39,9 375 296
299,9 999 999	6 399 999,023	6 399 999,03	7499,999 989	— 48,86 719 341
374,9 999 998	6 399 998,534	6 399 998,545	7499,999 983	— 58,64 063 534
449,9 999 996	6 399 997,948	6 399 997,963	7499,999 976	— 68,41 407 903
524,9 999 994	6 399 997,263	6 399 997,285	7499,999 968	— 78,18 752 479
599,999 999	6 399 996,482	6 399 996,51	7499,999 959	— 87,96 097 291
674,9 999 986	6 399 995,602	6 399 995,638	7499,999 948	— 97,73 442 368
749,9 999 981	6 399 994,625	6 399 994,669	7499,999 937	— 107,5 078 774
824,9 999 975	6 399 993,55	6 399 993,603	7499,999 924	— 117,2 813 344
899,9 999 967	6 399 992,377	6 399 992,44	7499,999 911	— 127,547 948
974,9 999 958	6 399 991,106	6 399 991,18	7499,999 896	— 136,8 282 592
1049,999 995	6 399 989,738	6 399 989,824	7499,99 988	— 146,6 017 276
1124,999 994	6 399 988,272	6 399 988,371	7499,999 863	— 156,3 752 005
29 849,87953	6 392 236,696	6 392 306,391	7499,908 895	— 3902,723 355
29 924,87861	6 392 197,669	6 392 267,714	7499,908 437	— 3912,520 344
29 999,8777	6 392 158,543	6 392 228,941	7499,907 977	— 3922,317 451
=7923м/с
				— 9,7 734 375
79,23	6 399 999,902	6 399 999,903	7922,999 999	— 19,5 468 753
158,46	6 399 999,707	6 399 999,709	7922,999 996	— 29,32 031 368
237,69	6 399 999,414	6 399 999,418	7922,999 993	— 39,9 375 295
316,9 199 999	6 399 999,023	6 399 999,031	7922,999 988	— 48,8 671 934
396,1 499 998	6 399 998,534	6 399 998,546	7922,999 982	— 58,64 063 532
475,3 799 996	6 399 997,948	6 399 997,965	7922,999 975	— 68,41 407 901
554,6 099 993	6 399 997,263	6 399 997,287	7922,999 966	— 78,18 752 476
633,839 999	6 399 996,482	6 399 996,513	7922,999 956	— 87,96 097 286
713,699 985	6 399 995,602	6 399 995,642	7922,999 946	— 97,73 442 361
792,299 998	6 399 994,625	6 399 994,674	7922,999 933	— 107,5 078 773
871,5 299 973	6 399 993,55	6 399 993,609	7922,99 992	— 117,2 813 342
950,7 599 965	6 399 992,377	6 399 992,447	7922,999 906	— 127,547 947
1029,989 996	6 399 991,106	6 399 991,189	7922,99 989	— 136,828 259
1109,219 994	6 399 989,738	6 399 989,834	7922,999 873	— 146,6 017 274
1188,449 993	6 399 988,272	6 399 988,382	7922,999 855	— 156,3 752 002
1267,679 992	6 399 986,708	6 399 986,834	7922,999 835	— 166,1 486 777
1346,90 999	6 399 985,047	6 399 985,188	7922,999 815	— 175,9 221 602
1426,139 988	6 399 983,287	6 399 983,446	7922,999 793	— 185,6 956 481
30 978,80933	6 392 507,148	6 392 582,211	7922,907 115	— 3834,143 035
31 058,0384	6 392 468,807	6 392 544,254	7922,906 639	— 3843,939 169
31 137,26747	6 392 430,367	6 392 506,201	7922,906 162	— 3853,735 418
31 216,49653	6 392 391,83	6 392 468,05	7922,905 683	— 3863,531 783
31 295,72559	6 392 353,194	6 392 429,803	7922,905 204	— 3873,328 265
31 374,95464	6 392 314,461	6 392 391,458	7922,904 723	— 3883,124 864
31 454,18369	6 392 275,63	6 392 353,017	7922,904 241	— 3892,92 158
31 533,41273	6 392 236,701	6 392 314,479	7922,903 757	— 3902,718 414
31 612,64177	6 392 197,674	6 392 275,843	7922,903 273	— 3912,515 366
31 691,8708	6 392 158,548	6 392 237,111	7922,902 787	— 3922,312 435
=10 000м/с
				— 9,7 734 375
	6 399 999,902	6 399 999,903	9999,999 998	— 19,54 687 529
	6 399 999,707	6 399 999,71	9999,999 995	— 29,32 031 368
299,9 999 999	6 399 999,414	6 399 999,421	9999,999 991	— 39,9 375 293
399,9 999 998	6 399 999,023	6 399 999,035	9999,999 985	— 48,86 719 336
499,9 999 997	6 399 998,534	6 399 998,554	9999,999 977	— 58,64 063 525
599,9 999 995	6 399 997,948	6 399 997,976	9999,999 968	— 68,41 407 889
699,9 999 991	6 399 997,263	6 399 997,302	9999,999 957	— 78,18 752 457
799,9 999 987	6 399 996,482	6 399 996,532	9999,999 945	— 87,96 097 259
39 599,84178	6 392 314,489	6 392 437,146	9999,879 747	— 3883,97 094
39 699,84058	6 392 275,658	6 392 398,936	9999,879 139	— 3892,8936
39 799,83937	6 392 236,729	6 392 360,63	9999,878 529	— 3902,690 221
39 899,83815	6 392 197,702	6 392 322,227	9999,877 917	— 3912,48 696
39 999,83693	6 392 158,577	6 392 283,728	9999,877 304	— 3922,283 815
=11 206м/с
				— 9,7 734 375
112,06	6 399 999,902	6 399 999,903		— 19,54 687 529
224,12	6 399 999,707	6 399 999,711	11 205,99999	— 29,32 031 367
336,1 799 999	6 399 999,414	6 399 999,422	11 205,99999	— 39,9 375 292
448,2 399 998	6 399 999,023	6 399 999,038	11 205,99998	— 48,86 719 334
560,2 999 997	6 399 998,534	6 399 998,559	11 205,99997	— 58,6 406 352
672,3 599 994	6 399 997,948	6 399 997,983	11 205,99996	— 68,41 407 881
784,419 999	6 399 997,263	6 399 997,312	11 205,99995	— 78,18 752 444
896,4 799 986	6 399 996,482	6 399 996,544	11 205,99994	— 87,9 609 724
1008,539 998	6 399 995,602	6 399 995,681	11 205,99992	— 97,73 442 297
1120,599 997	6 399 994,625	6 399 994,723	11 205,99991	— 107,5 078 764
1232,659 996	6 399 993,55	6 399 993,668	11 205,99989	— 117,2 813 331
44 151,46537	6 392 391,875	6 392 544,348	11 205,8666	— 3863,485 643
44 263,52404	6 392 353,24	6 392 506,489	11 205,86593	— 3873,281 772
44 375,5827	6 392 314,507	6 392 468,534	11 205,86525	— 3883,78 017
44 487,64135	6 392 275,677	6 392 430,483	11 205,86456	— 3892,874 377
44 599,7	6 392 236,748	6 392 392,336	11 205,86388	— 3902,670 853
44 711,75864	6 392 197,721	6 392 354,093	11 205,8632	— 3912,467 445
44 823,81727	6 392 158,596	6 392 315,754	11 205,86251	— 3922,264 153

Рис. 3.1 — Траектория движения корабля при разных начальных скоростях Исследование движения планеты в системе двух звезд

1. Цель работы

Определить координаты и скорость планеты как функции времени, а так же траекторию ее движения.

2. Исходные данные

Построение модели выполним при следующих допущениях:

· объектом исследования является планета, принимаемая за материальную точку;

· параметрами модели являются координаты и скорость планеты;

· движение планеты происходит в одной плоскости и подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона): ;

· величина (модуль) силы притяжения к центру звезды определяется законом всемирного тяготения, где — гравитационная постоянная, — расстояние между центром планеты и центром звезды.

3. Математическая постановка задачи

Найти решение задачи Коши для следующе системы уравнений:

(3.1)

где при начальных условиях

Для решения задачи используется численный метод. Заменяя производные разностными аналогами, получаем следующую систему разностных уравнений:

(3.2)

При проведении расчетов принимаем, что первый центр притяжения кг находится в начале системы координат, второй центр притяжения расположен в точке м, м, планета находится в начальной точке с координатами м, м и имеет начальную скорость м/с, направленную по горизонтали вправо. Шаг интегрирования во времени c.

4. Расчет

Таблица 4.1



			3 847 076,812
		8 000 840,078	3 847 732,054	1395,655 201	— 8,131 100 201
4 802 795,655	6 399 991,869	8 001 671,202	3 848 378,475	1395,654 062	— 8,127 016 304
4 804 191,309	6 399 983,742	8 002 502,486	3 849 025,296	1395,652 927	— 8,122 932 658
4 805 586,962	6 399 975,619	8 003 333,929	3 849 672,517	1395,651 794	— 8,118 849 267
4 806 982,614	6 399 967,5	8 004 165,531	3 850 320,139	1395,650 665	— 8,114 766 137
4 808 378,265	6 399 959,385	8 004 997,294	3 850 968,16	1395,649 539	— 8,110 683 269
4 809 773,914	6 399 951,275	8 005 829,215	3 851 616,581	1395,648 416	— 8,106 600 669
4 811 169,563	6 399 943,168	8 006 661,296	3 852 265,402	1395,647 296	— 8,102 518 341
4 812 565,21	6 399 935,066	8 007 493,537	3 852 914,623	1395,646 179	— 8,98 436 288
4 813 960,856	6 399 926,967	8 008 325,937	3 853 564,242	1395,645 066	— 8,94 354 514
4 815 356,501	6 399 918,873	8 009 158,496	3 854 214,261	1395,643 955	— 8,90 273 024
4 816 752,145	6 399 910,782	8 009 991,214	3 854 864,678	1395,642 848	— 8,86 191 821
4 818 147,788	6 399 902,696	8 010 824,092	3 855 515,494	1395,641 744	— 8,82 110 909
4 819 543,43	6 399 894,614	8 011 657,128	3 856 166,708	1395,640 644	— 8,78 030 292
18 760 747,12	6 385 164,185	19 817 566,81	16 120 188,79	1399,465 779	— 0,118 781 224
18 762 146,59	6 385 164,067	19 818 891,61	16 121 557,02	1399,465 866	— 0,118 751 571
18 763 546,06	6 385 163,948	19 820 216,43	16 122 925,27	1399,465 953	— 0,118 721 929
18 764 945,52	6 385 163,829	19 821 541,25	16 124 293,52	1399,46 604	— 0,118 692 296
18 766 344,99	6 385 163,711	19 822 866,09	16 125 661,77	1399,466 128	— 0,118 662 673
18 767 744,45	6 385 163,592	19 824 190,93	16 127 030,03	1399,466 215	— 0,118 633 059
18 769 143,92	6 385 163,473	19 825 515,78	16 128 398,3	1399,466 302	— 0,118 603 456
18 770 543,39	6 385 163,355	19 826 840,65	16 129 766,57	1399,466 389	— 0,118 573 862
18 771 942,85	6 385 163,236	19 828 165,52	16 131 134,85	1399,466 476	— 0,118 544 278
18 773 342,32	6 385 163,117	19 829 490,41	16 132 503,13	1399,466 563	— 0,118 514 703
18 774 741,79	6 385 162,999	19 830 815,31	16 133 871,42	1399,466 651	— 0,118 485 139
18 776 141,25	6 385 162,88	19 832 140,21	16 135 239,71	1399,466 738	— 0,118 455 584
18 777 540,72	6 385 162,762	19 833 465,13	16 136 608,01	1399,466 825	— 0,118 426 039
18 778 940,19	6 385 162,644	19 834 790,05	16 137 976,31	1399,466 912	— 0,118 396 504
18 780 339,65	6 385 162,525	19 836 114,99	16 139 344,62	1399,466 999	— 0,118 366 978

Рис. 4.1 — Траектория движения планеты при разной начальной скорости и разных массах звезд

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой