Интерполяция функций в пакете MatLab. 
Полином Лагранжа

Факультет Информатики и вычислительной техники Кафедра математического и аппаратного обеспечения информационных систем

Курсовая работа

по дисциплине " Вычислительная математика"

" Интерполяция функций в пакете MatLab.

Полином Лагранжа "

Выполнил: студент группы ИВТ-11−10 Фёдоров В.С.

• Введение
• 1. Теоретическая часть
• Интерполяция функций
• Интерполяционная формула Лагранжа
• 2. Практическая часть
• Реализация
• Распечатка серии тестов
• Анализ полученных результатов
• Интерполяция по соседним элементам
• Линейная интерполяция
• Интерполяция кубическими сплайнами
• Интерполяция Лагранжа
• Список использованной литературы

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т. е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Аннотация:

В данной курсовой работе в программном продукте MatLab реализовано интерполирование функций полиномом Лагранжа.

1. Теоретическая часть

Интерполяция функций

Пусть на отрезке [a, b] заданы значения функции y = f (x) в точках

Интерполяция — нахождение многочлена не выше n-ой степени:

(1)

который в точках принимает те же значения, что и данная функция, т. е. выполняются равенства:

() = f () =, i = 0, 1, 2, …,n. (2)

Другими словами, интерполяция — нахождение многочлена вида (1), который на отрезке [a, b] являлся бы приближением для функции y = f (x).

Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом, точки — узлами интерполяции

.

Интерполяционная формула Лагранжа

Рассмотрим вопрос об отыскании коэффициентов интерполяционного многочлена (1).

интерполяция полином лагранж математика Подставляя этот многочлен в систему (2), получаем систему n+1 уравнений первой степени с n+1 коэффициентами :

Решая систему, находим коэффициенты и, подставляя их в (1) получаем искомый интерполяционный многочлен. Однако на практике этот способ связан с громоздкими вычислениями при решении системы.

Поэтому интерполяционный многочлен (1) будем искать в виде:

(4)

Полагая в (4) x = и учитывая условия (2) получим:

откуда =

Полагая в (4) x = получим:

откуда

=

Аналогично найдем

=

…

=

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (4), получаем искомый многочлен

= + +

. + (5)

Формула (5) называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Пример. Найти многочлен второй степени, приближенно выражающий функцию f (x).

Решение. По формуле (5) находим

= + +

= 2 + +

= x +

Блок - схема алгоритма.

2. Практическая часть

Реализация

Для среды разработки был выбран программный продукт MatLab, так как он очень удобен для математических операций и построения графиков.

Листинг:

lagrange. m

function f=LagrangeP (x, y, r)

% (x, y) массивы координат точек

m=length ®;

nx=length (x);

ny=length (y);

if (nx ≅ ny),

error (' (x, y) do not have the same # values')

end

for k=1: m

sum = 0;

for i=1: nx

delt (i) =1;

for j=1: nx

if (j ≅ i),

delt (i) = delt (i) * (x (k) — xt (j)) / (xt (i) — xt (j));

end

end

sum = sum + ft (i) * delt (i);

end

f (k) =sum;

end

plot (x, y,'o', r)

Руководство программиста:

Назначение программы: Построение полинома Лагранжа.

Используемые функции:

plot (x,y) — команда plot (x, y) соответствует построению обычной функции, когда одномерный массив x соответствует значениям аргумента, а одномерный массив y — значениям функции.

length (x) — встроенная функция, вычисляет количество элементов в одномерном массиве.

interp1 (x, y, xi, `text') — приближение функции одной переменной сплайнами, где x, y — это табличные данные исходной функции, xi — значения аргумента сетки, а `text' = nearest — интерполяция по соседним элементам, linear — линейная итерполяция, Spline — интерполяция кубическими сплайнам.

Руководство пользователя:

Назначение программы: Построение полинома Лагранжа c помощью интерполяционной формулы Лагранжа.

Выполнение программы: В окошке Command Window введем табличные данные исходной функции x и y, а также X абсцисс точек, в которых вычисляются значения интерполяционного полинома. После этого введем Y=LagrangeP (x,y,X) для построения полинома Лагранжа. Выводится графики исходной функции и интерполянты.

Распечатка серии тестов

Для примера возьмем исходную функцию:, построим график этой функции:

Находим точки дискретизации, где шаг равен 0.5:

Интервал вычисления интерполянты: от 2 до 7 с шагом 0.1

Используем встроенную функцию: - интерполяция по соседним элементам.

Строим точки дискретизации и график интерполянты:

- линейная итерполяция.

Строим точки дискретизации и график интерполянты:

- интерполяция кубическими сплайнам.

Строим точки дискретизации и график интерполянты:

Воспользуемся написанной функцией:

- интерполяция формулами Лагранжа.

Строим точки дискретизации и график интерполянты:

Анализ полученных результатов

Ниже приведен листинг программы для вычисления погрешности. Функция выводит на экран максимальное по модулю значение погрешности.

Листинг:

pogr. m

function p=pogr (X, Y)

yi=sin (2*X). *sin (X);

P=yi-Y;

p=P;

abs (p);

max (p)

Интерполяция по соседним элементам

Возьмем для теста несколько не узловых точек.

>> pogr (X, Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.1972.

Линейная интерполяция

Возьмем для теста несколько не узловых точек.

>> pogr (X, Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.1228

Интерполяция кубическими сплайнами

Возьмем для теста несколько не узловых точек

>> pogr (X, Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.0446

Интерполяция Лагранжа

Возьмем для теста несколько не узловых точек

>> pogr (X, Y); - вычисляем максимальную погрешность 0.0963

Из вычислений видно, что интерполяция по соседним элементам является самым неточным, а интерполяция кубическими сплайнами и интерполяция формулами Лагранжа намного точнее.

1. Волков, Е. А. Численные методы: учеб. пособие / E. A. Волков. — М.: Наука, 1982. — 256 с.

2. Турчак, Л. И. Основы численных методов: учеб. пособие / Л. И. Турчак; под ред.В. В. Щенникова. — М.: Наука, 1987. — 320 с.

3. Поршнев, С. В. Вычислительная математика. Курс лекций: учеб. пособие / С. В. Поршнев. — 2-е изд., доп. — СПб.: БХВ-Петербург, 2004. — 320 с.

4. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики: учеб. пособие / Б. П. Демидович, И. А. Марон. — 6-е изд., стереотип. — СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2007. — 672 с.