Методика и технологии формирования вычислительных навыков

В результате изучения материала данной главы студент должен:

знать

• • теоретические основы вычислительных приемов;
• • содержание и структуру обучения учащихся начальной школы вычислительным приемам;

уметь

• • организовывать деятельность учащихся по овладению вычислительными умениями;
• • использовать различные методы и приемы для создания комфортной познавательной среды;

владеть

методами, формами и средствами организации учебной деятельности школьников по овладению различными приемами вычислений, выявлению пробелов и путей их исправления.

Приемы вычисления сумм и разностей

Вопросы для обсуждения.

• 1. В чем значение умений выполнять арифметические вычисления?
• 2. Почему в основе вычислительных приемов лежат свойства арифметических действий?
• 3. Почему умения устно складывать и вычитать двузначные числа имеют решающее значение для овладения технологией вычислений сумм и разностей?
• 4. Каково значение предметных действий в процессе усвоения вычислительных приемов сложения и вычитания?
• 5. В чем отличие вычислительных задач от задач других видов, обучение которым происходит в начальной школе?
• 6. Почему знание таблицы сложения необходимо для усвоения вычислительных приемов?

Изучение вычислительных приемов в курсе математики начальной школы является одним из основных формируемых умений, а отечественная методика может претендовать на почти идеальные разработки в этом направлении. Если проанализировать содержание уроков в различных системах обучения, то легко заметить, что задачи вычислительного характора занимают в них едва ли не главенствующее место. Так, в учебнике 2-го класса М. И. Моро с соавторами во взятом наугад уроке на тему «Таблица деления на 2» всех вычислений более 40, а в учебнике 2-го класса Т. Е. Демидовой с соавторами на тему «Сложение и вычитание чисел» всех вычислений около 30. Их количество в этом учебнике меньше за счет.

j.

раннего введения буквенных выражений и наличия нестандартных задач практически в каждом уроке. В реальной же практике вычислений и того больше: этап, именуемый «Устный счет», содержит, как правило, еще 10—15 вычислений. Неудивительно, что большинство детей вычислительными навыками овладевает. Более того, многим школьникам решать вычислительные задачи, особенно выполняемые письменными приемами, нравится. А математика если и не вызывает интереса, то не вызывает и особых трудностей, выполнение действия освоенным способом требует только внимания. Появление новых видов задач, внедрение информационно-коммуникативных технологий изменяет соотношение между заданиями вычислительного характера и заданиями содержательно более насыщенными в пользу последних. Вопрос о значении вычислительных умений в методической науке остается дискуссионным. Так, мнение В. И. Арнольда, что «при всем огромном социальном значении вычислений (и computer science) сила математики не в них, и преподавание математики не должно сводиться к вычислительным рецептам»¹, поддерживают такие педагоги-математики, как А. В. Белошистая, А. Л. Чекин, Н. Б. Истомина.

Несомненно, формировать вычислительные умения необходимо, вопрос в том, какой «вес» они должны иметь в содержании курса математики. Ответ на него связан также с проблемами когнитивного развития.

Известно, что функциональная асимметричность полушарий мозга состоит в том, что «левое отвечает за умножение многочленов, языки, шахматы, интриги и последовательности силлогизмов, а правое — за пространственную ориентацию, интуицию и все необходимое в реальной жизни»^[1][2], формирование же вычислительных умений преимущественно задействует формально-логические компоненты мышления, т. е. преимущественно ресурсы левого полушария.

Это хорошо видно из анализа приемов устных вычислений в пределах первой сотни, которые основываются на владении детьми разрядным составом числа, знании свойств арифметических действий и таблицы сложения. Так, в системе обучения «Школа России» порядок изучения приемов сложения и вычитания в пределах первой сотни представляется таблицей устных вычислительных приемов (табл. 8.1).

«Последовательность рассмотрения вычислительных приемов сложения и вычитания определяется целями обучения и логикой построения курса, в котором изучение теоретических вопросов подчинено прежде всего формированию у учащихся вычислительных умений и навыков»^[3].

Устные вычислительные приемы.

Например, правило прибавления числа к сумме изучается именно с целью формирования приема сложения. «Изучение каждого свойства строится примерно по одному плану: сначала, используя наглядные пособия, надо раскрыть суть самого свойства, затем научить детей применять его при выполнении различных упражнений учебного характера, и, наконец, научить, пользуясь знанием свойства, находить рациональные приемы вычислений с учетом особенностей каждого конкретного случая»^[4].

Например, сумма 34 + 20 согласно данному правилу вычисляется гак:

где предполагается, что сложению разрядных слагаемых дети уже обучены, и должны провести рассуждение: представлю 34 в виде суммы разрядных слагаемых, по правилу прибавления числа к сумме прибавлю 20 к 30, получу 50, к пятидесяти прибавлю 4, получу 54. С другой стороны, полная запись приема считается малодоступной. Очевидно, это громоздкое рассуждение может выполняться только тогда, когда новый прием только вводится.

34 + 20.

Технология предлагает упрощение, записывая прием в форме / ,.

30 4.

которая сама по себе подталкивает ребенка к выполнению ранее освоенных действий и забыванию их обоснования.

Вообще, довольно сложная формулировка правил, указанных в таблице, в последнее время не используется, а соответствующие приемы аргументируются простым указанием: вычитаем (складываем) поразрядно. Технология вносит упрощение, и вместо записи.

раскрывающей суть приема на основе свойств арифметических действий, формирующей вместе с гем умения выполнять тождественные преобразования, предлагается запись, цель которой подсказать, что надо сделать.

Приведенные примеры показывают, что вычислительные приемы осваиваются детьми как алгоритмы, которые следует просто запомнить. Показ образца действий — основной способ введения вычислительного приема, и только значительное число упражнений, предлагаемых из урока в урок, обеспечивает их усвоение.

Попытка разработать технологию, более отвечающую принципу формирования общего способа действий, принадлежит, например, Н. Б. Истоминой. В основе этой технологии лежит осознание детьми принципа записи двузначных чисел в десятичной системе счисления и смысла действий сложения и вычитания, вследствие чего вводится наглядное представление разрядного состава двузначного числа и объяснение вычислительного приема с его помощью.

Более радикальную позицию в этом плане занимает система, разработанная В. В. Давыдовым с соавторами, которые исходят из того, что дети должны усвоить принципы построения позиционной системы счисления по любому основанию, а способы вычислений не зависят от выбранного основания. Смысл сложения и вычитания в этой системе раскрывается на основе свойства аддитивности меры. Таблица сложения составляется с помощью числовой прямой. Вычислительные приемы сложения и вычитания сразу рассматриваются для многозначных чисел, в том числе, по основаниям, отличным от десяти, с опорой на наглядное представление разрядного состава числа. Примеры^[5] приведены на рис. 8.1 (числа в скобках справа показывают основание системы счисления).

Рис. 8.1. Представление разрядного состава числа Предполагается, что, складывая поразрядно, дети будут осуществлять перевод в десятичную систему. Например, 6 + 3 по основанию 7 равно 12, так как 9 = 7 + 2, а 11 — 5 в системе по основанию 6 равно 7 — 5 в десятичной. Такой перевод неизбежен, так как таблица сложения в системе по используемому основанию не составляется, что, несомненно, уменьшает дидактическую ценность данных заданий.

Уже при изучении устных приемов сложения и вычитания вводятся записи «в столбик» как без перехода через разряд, так и с переходом, что является подготовкой к усвоению этих алгоритмов в дальнейшем.

К устным приемам сложения и вычитания многозначных чисел относятся приемы, основанные на знании нумерации вида а ± 1 или вида а • 10″ + Ь. Например, 189 + 1, 900 — 1, 9999 + 1, 1 000 000 — 1 или 700 + 5, 8000 + 229. Также устно вычисляются суммы и разности чисел, приемы вычислений которых сводятся к приемам вычислений двузначных. Например, 25 000 000 + 46 000 000, 57 000 — 32 000, 100 000 — 56 000 и т. п.

Суть алгоритмов сложения и вычитания «в столбик» не изменяется от того, сколько разрядов в числе, и, если они усвоены уже для двузначных чисел, то трудности возникают только потому, что восприятие многозначных чисел требует большей сосредоточенности.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Спроектируйте фрагмент урока на тему «Приемы вычитания вида 50 — 17». Выделите знания, которые необходимо актуализировать. Составьте учебный диалог, цель которого — «открытие» нового знания. Опишите организацию деятельности детей на этапе закрепления. Подготовьте презентацию.
• 2. Дайте обзор и подготовьте сообщение о способах введения приемов сложения и вычитания двузначных чисел в системе обучения:
  • • Школа России;
  • • Перспектива;
  • • Школа 2100.
• 3. Спроектируйте фрагмент урока на одну из следующих тем.
• • Вычитание трехзначных чисел с переходом через разряд.
• • Устные приемы сложения и вычитания многозначных чисел.

Выделите знания, которые необходимо актуализировать. Составьте учебный диалог, цель которого — «открытие» нового знания. Опишите организацию деятельности детей на этапе закрепления. Подготовьте презентацию.

• 4. Дайте анализ способов введения приемов сложения и вычитания двузначных чисел в системе обучения «Гармония». Подготовьте презентацию.
• 5. Составьте задания на сложение и вычитание двузначных чисел, прием вычисления в которых основан на правиле прибавления суммы к числу. Объясните, почему это правило не совпадает со свойством ассоциативности сложения. Подготовьте сообщение.
• 6. Составьте «памятку» для: а) устного; б) письменного вычисления разности вида 45 — 27. Подготовьте сообщение.
• 7. Какие знания и умения необходимы детям для вычисления значений выражений 27 — 7, 30 + 4, 27 -20, 29 + 1,30 — 1, 20 — 40, 40−10, 320 — 20, 300 — 200, 1099 + 1, 2000 — 1, 30 000 + 250. Подготовьте сообщение.
• 8. При вычислении значения выражения 24−7 один ученик представил 7 в виде суммы 4+3, другой ученик представил 24 в виде суммы 10 + 14. Приведите рассуждения каждого из учеников. Подготовьте сообщение.
• 9. С какой целью учитель предложил задания вида:
  • • 8 тысяч уменьшите на 5 тысяч;
  • • 50 сотен увеличьте на 2 десятка;
  • • 3 тысячи уменьшите на 7 единиц;
  • • 37 тысяч уменьшите на 5 сотен?
• 10. С какой целью учитель предложил детям вычислить значения разностей 100−1,1000 -1,10 000 — 1 и т. п. в столбик? Подготовьте сообщение.

• [1] Арнольд В. И. Математика и математическое образование в современном мире // Математическое образование. 1997. № 2. С. 110.
• [2] Там же.
• [3] Истомина II. Б. Методика обучения математике в начальных классах: учеб, пособие.М.: Академия, 2002. С. 65.
• [4] Бантова М. Л., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в начальныхклассах. М.: Просвещение, 1984. С. 77.
• [5] Математика. 2 класс / В. В. Давыдов [и др.]. М.: МИ РОС, 1995. С. 11, 21.