Редукция исходной задачи к интегральному уравнению Фредгольма первого рода

Тождество (3.14) позволяет свести исходную задачу (3.11), (3.12) к двумерному уравнению Фредгольма первого рода с разностным ядром. Действительно, зафиксируем т = т, 0<�т<�Т, и перепишем тождество (3.14) по отношению к функции z (x, у) = п (т, х, у) в следующем виде:

где.

и.

Аналогичное интегральное уравнение указанным выше способом может быть выписано и для случая ненулевого дополнительного условия. Отметим, что экспоненциально быстрое убывание ядра в интегральном уравнении (3.31) на бесконечности позволяет реализовать процедуру «укорочения» данного уравнения. Другими словами, неограниченная область интегрирования в (3.31) может быть заменена последовательностью расширяющихся ограниченных множеств, в пределе стремящихся к исходному.

В классе функций нескольких переменных с ограниченной полной вариацией решение полученного интегрального уравнения с непрерывным ядром, ограниченной областью интегрирования и правой частью из пространства i₂ может быть построено на основе алгоритма, описанного в учебнике А. С. Леонова^[1]. Разработанный алгоритм допускает простую численную реализацию и обеспечивает кусочно-равномерную сходимость аппроксимирующей последовательности функций к искомому решению. Фактически в данном случае процедура численного решения поставленной задачи осуществляется на основе метода наименьших квадратов^[2].

Остановимся подробно на решении уравнения (3.31). Аппроксимируем область интегрирования некоторым прямоугольником В = [а b] х [с; d, границы которого могут расширяться по мере достижения требуемой точности вычислений. Зададим на В сетку S_Kl — {{х_к, z//)}f=t'/₌₁ размера К х L и введем в рассмотрение функционал VH, отвечающий полной вариации функции в области В:

Известно, что функции с конечной полной вариацией образуют банахово пространсто с нормой u_VH=u (a, b) + VH (u, В). Далее зафиксируем и рассмотрим оператор Л^т: L₂(B) —> L₂(B), определяемый соотношением.

и являющийся вполне непрерывным. Наша задача будет состоять в поиске решения следующего интегрального уравнения:

К решению задачи (3.33) подойдем путем минимизации функционала Тихонова.

где Ф²|г/]=|| A^Tu-Q^x ||^ и 0|м|=||м||_га. В качестве приближенного решения задачи (3.33) будем брать элемент, который доставляет глобальный минимум функционалу (3.34). Параметр регуляризации, а будем выбирать согласно обобщенному принципу невязки, состоящему в численном решении уравнения.

где h и 5 — погрешности в задании оператора А^т: || А^т — Aj_t ||< /г, || Q^T — Qj, ||_i2 < 5, а р_Л8 — верхняя оценка меры несовместности² уравнения (3.33), определяемая для рассматриваемого нами случая как.

Для численной реализации изложенного подхода введем на прямоугольнике В равномерную сетку размера и выпишем конечно-разностную аппроксимацию (3.34). Конечномерная невязка запишется следующим образом:

Для функционала Q будем использовать гладкую конечномерную аппроксимацию¹

I г f.

где f_z(x) = Jx² +. Такой подход обеспечивает возможность применения метода сопряженных градиентов для минимизации функционала (3.34).

После того как найдено приближенное решение и (3.33), ошибка G (t, x_lt х₂) восстанавливается исходя из зависимости G (t, x_l, x₂) = e~^r^^T~^t^x х w?^_f(lnxj, lnx₂).

• [1] Леонов А. С. Указ. соч.
• [2] Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.