Основной результат. 
Финансовая математика. 
Стохастический анализ

Теорема 8.1. В предположении существования стохастических интегралов (8.2) на промежутке времени t е [0; Т] имеют место формулы

Доказательство. Введем в рассмотрение случайный процесс.

где a_it= a^t, со), т_г = т{1, со) — некоторые измеримые случайные функции времени. Потребуем, чтобы для стохастического дифференциала df_t выполнялось соотношение.

где l (t, со) — некоторая случайная измеримая функция времени. Нетрудно видеть, что согласованность равенств (8.5) и (8.6) обеспечивается следующим определением случайного процесса т

В формуле (8.7) для краткости введены обозначения z_jz+dx=z_h+dz_h, 1=1,…, т.

Кроме того, введем в рассмотрение случайный процесс который, как нетрудно убедиться, может быть записан в эквивалентном виде

Применяя к функции f_t многомерную формулу Ито^[1] и сравнивая ее с соотношением (8.6), приходим к следующим зависимостям:

Рассмотрим функции f_t специального вида. Первоначально положим f_t = zf_t отдельно для каждого 7=1,…, т.

Тогда в силу соотношений (8.10) получим зависимости.

Вычисляя функцию р₍ в соответствии с выражением (8.8), получаем равенство.

Исходя из зависимости (8.9) приходим к соотношению Сравнивая правые части последних двух равенств, получаем тождество Преобразуя в формуле (8.11) интеграл: и раскрывая dzf_t исходя из уравнения (8.1):

приходим к зависимости (8.3).

Далее, полагая f_t= z_jtZj_t при любых фиксированных i, j = 1, …, т, i Ф), и исходя из зависимостей (8.10), получим соотношения.

Вычисляя функцию р, в соответствии с выражением (8.8), получаем равенство.

Исходя из зависимости (8.9) приходим к соотношению.

Сравнивая правые части последних двух равенств, получаем тождество.

Преобразуя в формуле (8.12) стохастические интегралы:

и раскрывая произведение dz_{j (}dzj_t по уравнению (8.1):

приходим к зависимости (8.4), что и завершает доказательство теоремы.? Заметим, что полученные соотношения (8.3) и (8.4) можно переписать в виде интегрального уравнения.

относительно неизвестной вектор-функции x (t) и известной вектор-функции h (t), вычисляемой в соответствии с левыми частями соотношений (8.3) и (8.4) вдоль наблюдаемых реализаций случайных процессов z_it, i = 1,…, т. Уравнение (8.13) представляет собой типичную некорректную задачу, квазирешение¹ которой существует, единственно и определяется в результате рассмотрения вариационной задачи минимизации функционала Ф (х) = ||Ат-/г||^[2][3] в пространстве L₂0; Т на множестве функций ограниченной вариации^[3]. В результате исходная задача сводится к рассмотрению системы нелинейных алгебраических уравнений относительно оцениваемых коэффициентов диффузии и корреляции.

при заданных функциях времени Ч^*) и Ф,-,(?)> определяемых в результате решения указанной некорректной задачи.

• [1] Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения: Введение в теорию и при ложения. М.: Мир, 2003.
• [2] Тихонов А. И., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. 3-е изд., испр. М. :Наука, 1986.
• [3] Вавилов С. А., Ермоленко К. 10. Обобщенная задача стохастического управления инвестиционным портфелем // Вестник СПбГУ. 2007. Серия 5. «Экономика». Вып. 3. С. 36—46.
• [4] Вавилов С. А., Ермоленко К. 10. Обобщенная задача стохастического управления инвестиционным портфелем // Вестник СПбГУ. 2007. Серия 5. «Экономика». Вып. 3. С. 36—46.