Основная теорема о конечном теле

Теперь мы можем приступить к доказательству основной теоремы, не отвлекаясь «по мелочам».

Теорема 4.19 (Веддербарна). Конечное тело является полем.

Доказательство. Пусть дано конечное тело Т. Рассмотрим в нем множество С (Т) всех элементов, перестановочных с каждым элементом из Г:

Очевидно, С (Т) является конечным полем. Пусть оно содержит q элементов. Рассмотрим Т как векторное пространство над полем С (Т). Если его базис содержит п векторов, то Т содержит qⁿ элементов (см. лемму 4.3).

Для каждого элемента а е Т обозначим через С_а(Г) множество тех и только тех элементов, которые перестановочны с элементом а (централизатор элемента а в Т). Рассматривая С_а(Т) как векторное пространство над полем С (Т), заключаем, что количество элементов С_а(Т) равно q" «при некотором натуральном п_а (снова см. лемму 4.3).

Предположим, что тело Т не коммутативно. Тогда С_а(Г) Ф Т для некоторого а е Т и, следовательно, qⁿ° < q' откуда п_а < п.

Напомним, что Т* обозначает группу обратимых элементов тела Т. Поскольку Т = Т {0}, то порядок группы Т* равен q'¹ — 1. Аналогично группа обратимых элементов (С_а(7))* содержит qⁿ" -1 элементов.

Для каждого элемента а группы Т* рассмотрим класс сопряженных элементов К_а = {Hat | t е Т*}. Так как по предположению группа Т* не коммутативна, то существуют классы сопряженных элементов, содержащие более одного элемента, обозначим их K_av К_а2, …, К_ат. По теореме 1.14 для любого.

i = 1, 2, …, т имеем |К_а.| = |Т* :С_а.|. По теореме Лагранжа (теорема 1.7) |Т*| = IQ.(Т*)|• |Т*:С_а.(Т*)| = |С_а.(Г)|• К_а.. СледоваI Г* I qⁿ-1

тельно, I К" | = -— -—- = —-. Поскольку qⁿ -1: q'^la' -1, то.

' |С_а.(Г)| qⁿ°i — 1 ^{УЧ 4}

по лемме 4.4. п:п_а. для любого t = 1, 2, …, т.

Группа Т* состоит из элементов центра (их q — 1 штук) и элементов, содержащихся в классах сопряженных элементов K_ai, К_а2,.

m gn-l.

…, К_а их количество равно К_а | + |tT_a |+…+ |^_a

^m i=i q ⁴ -1.

Таким образом,.

Рассмотрим представление многочленах" - 1 = П (хА.), где А. пробегает все корни п-й степени из единицы. Сгруппируем линейные множители следующим образом: х^п-1= Пфс/М;

п: d

Напомним, что (p_d(x) есть произведение всех множителей вида х — X, где X есть корень d-й степени из единицы, имеющий порядок d в группе всех корней d-й степени из единицы. Зафиксируем номер i е {1, 2,…, т} и, пользуясь тем, что п: п_щ, выделим множитель х" ч -1:

При х = qполучаем.

Поскольку по лемме 4.5 коэффициенты многочленов (p_fc(x) целые при любом натуральном к, то получаем qⁿ — 1: cp_n(q).

qⁿ -1 .

и —-:(p"(q) Д^ля любого г. Из равенства (1) вытекает, что.

q'^{, a}> -1.

q — 1: cp_n(q). Но это противоречит лемме 4.6. Теорема доказана.

Примечание. Так как материал данного параграфа далеко выходит за рамки программы и адресован интересующимся магистрам и аспирантам, контрольные вопросы и задачи к нему не приводятся.