Операции над нечеткими множествами

Над нечеткими множествами можно выполнять ряд операций, называемых теоре- т, ико-множесгпвенными, основными из которых являются объединение, пересечение и дополнение.

Пусть даны нечеткие множества А и В, имеющие одну предметную область:

Объединением двух нечетких множеств А и В называется нечеткое множество.

Л U В = {х, i*aub (x)x е X, рлив (х) = тах{дд (ж), рв (х)}}. (7.10).

Другими словами, для каждого элемента х 6 X значение функции принадлежности объединения нечетких множеств A U В вычисляется как максимум /1д (т) и //в{х).

На рис. 7.9 приведена иллюстрация операции объединения. Графики функций принадлежности нечетких множеств А и В имеют треугольную форму. График функции рлив{^х) выделен утолщенной линией.

Пересечением двух нечетких множеств А и В называется нечеткое множество

Рис. 7.9. Объединение нечетких множеств.

Другими словами, для каждого элемента х Е X значение функции принадлежности объединения нечетких множеств Ли В вычисляется как минимум Ца (^х) и /1#(х).

На рис. 7.10 приведена иллюстрация операции пересечения. График функции /Мив (я) выделен утолщенной линией.

Рис. 7.10. Пересечение нечетких множеств.

Дополнением нечеткого множества А называется нечеткое множество.

На рис. 7.11 приведена иллюстрация операции дополнения. График функции выделен утолщенной линией. Он представляет собой график //д (#), отраженный симметрично относительно линии ц (х) = 0,5.

Пример 7.5. Даны два нечетких множества:

Рис. 7.11. Дополнение нечеткого множества.

Найти A U В, А П В. —*А.

Решение. Используя определения (7.10)—(7−12), имеем:

Вычисления по формулам (7.10)—(7.12) затруднений не вызывают. Для выполнения операций над непрерывными нечеткими множествами можно либо получить аналитическое выражение для результата, либо разбить предметную область па отдельные точки (в достаточно большом количестве) и определить результат. ?

Операции объединения, пересечения и дополнения для нечетких множеств являются обобщением аналогичных операций для обычных (четких) множеств, причем операции над числовыми значениями функций принадлежности дня граничных случаев (0 и 1) соответствуют операциям булевой алгебры.

Действительно,.

что соответствует таблице истинности операции дизъюнкции (см. рис. 4.6).

Аналогично,.

что соответствует таблицам истинности для операций конъюнкции (рис. 4.3) и отрицания (рис. 4.1) соответственно.

Для операций, определенных на нечетких множествах, выполняются свойства, аналогичные большинству свойств булевой алгебры и четких множеств. Пусть А, В и С — нечеткие множества. Операции над ними обладают следующими свойствами.

1. Коммутативность объединения и пересечения:

2. Ассоциативность объединения и пересечения:

3. Дистрибутивность объединения относительно пересечения и пересечения относительно объединения:

• 4. Законы де Моргана: ->(А U В) = -*А П -*В_: ->(А П В) = U ->В.
• 5. Законы идемпотентности: Аи, А = А, А П, А = А.
• 6. Закон двойного дополнения: ->(->А) = А.

7. Операции, связанные с пустым и универсальным множествами:

Свойства AU-'А = U и АГ-*А = 0, верные для обычных множеств, для нечетких в общем случае не выполняются.

Кроме рассмотренных теоретико-множественных операций, выделяют операции концентрирования CON (от англ, concentration — концентрирование) и растяжения DIL (от англ, dilatation растяжение), применяемые к отдельному нечеткому множеству.

Концентрированием нечеткого множества А называется нечеткое множество.

Графически операция концентрирования представляет собой «сжатие» значений функции принадлежности (рис. 7.12). Чем ближе значение х к середине носителя, тем больше расстояние между значением ца (х) и (/лд (т))².

Рис. 7.12. Концентрирование нечеткого множества Растяжением нечеткого множества А называется нечеткое множество.

DIL (A) = {(х, ц₀₁ц_А)(х))х € х, ц₀1ц_А)(х) = V/mM = (мл (ж))^ог'}. (7.14).

Графически операция растяжения представляет собой переход к значениям функции принадлежности, находящимся на большем расстоянии от центра носителя исходного нечеткого множества (рис. 7.13).