Оптимальное проектирование кристаллизаторов со взвешенным слоем

С помощью принципа минимума производства энтропии можно определить порозность в кристаллизаторе со взвешенным слоем. И для осуществления стационарных устойчивых режимов в данном кристаллизаторе определить интервал, в котором находится значение угла раскрытия конуса аппарата, так как угол раскрытия конуса кристаллизатора существенно влияет на гидродинамическую обстановку в нем. На практике при малом угле раскрытия конуса часто наблюдается унос частиц (кристаллов) в циркуляционную зону, и как следствие в результате уноса происходит кристаллизация во внешней теплообменной зоне; а при большом угле раскрытия конуса частицы, не успевая вырасти, уже удаляются из зоны кристаллоращения.

Математическая модель процесса кристаллизации в стационарном режиме в аппарате со взвешенным слоем рассмотрена в разд. 2.1.1 и имеет вид:

граничные условия: при x=0 a₁ = ai₀; с=с₀; Т=Т"; у₁ = о_1|); m = m₀; при х = Н о₂ = 0.

Обозначения приняты такие же, как и в разд. 2.1.1.

Запишем полное производство энтропии для процесса кристаллизации в аппарате со взвешенным слоем.

где /, X— термодинамические поток и движущая сила, V — объем рабочей части аппарата.

В стационарном состоянии производство энтропии Р имеет минимум. Следовательно, из всех значений порозности {а,(х)} (х — координата по высоте аппарата) определим, то, которое дает минимум функционалу Р. Минимум функционала Р обеспечивает решение уравнения Эйлера

причем.

где p₂fn — термодинамический поток взаимодействия дисперсной и несущей фаз; о,—— термодинамическая движущая сила взаимодействия.

Остальные движущие силы и потоки явно от а, не зависят. Выше в разд. 2.2.1. получено соотношение для /,_г в виде:

где g —ускорение силы тяжести; а₂ — объемное содержание дисперсной фазы; С_л — коэффициент сопротивления.

Для ламинарного режима обтекания частицы коэффициент сопротивления C_d равен.

Hi — вязкость несущей фазы; d — диаметр частицы.

С учетом соотношений (3.173)—(3.174) термодинамическую движущую силу взаимодействия представим в виде.

Тогда, учитывая выражения (3.173), (3.175), запишем составляющую производства энтропии, связанную с взаимодействием несущей фазы и частиц дисперсной фазы, в виде.

где К= (рг°—р,°)!!²?(²/(18ц).

Для определения порозности в стационарном ламинарном случае минимизируем функционал Р

Из соотношения (3.177) следует.

В результате уравнения (3.178) приходим к следующему выводу:

Уравнение (3.179) имеет три корня.

первый и третий корни не имеют физического смысла, так как порозность в аппарате находится в интервале 0-<�",<; 1. Тогда для осуществления ламинарного стационарного режима в кристаллизаторе значение порозности должно равняться.

Аналогично проводятся рассуждения для определения порозности в турбулентном стационарном режиме (13.

а соотношение р₂/,₂(о,—о₂) преобразуется к виду где.

Для определения порозности в стационарном турбулентном случае также минизируем функционал Р и получаем уравнение.

Из анализа уравнения (3.185) следует.

Причем первый и третий корни не имеют физического смысла. Следовательно, для осуществления турбулентного стационарного режима в кристаллизаторе со взвешенным слоем значение порозности должно равняться.

Таким образом, в стационарном режиме в рабочей высоте слоя порозность остается неизменной. Из экспериментальных работ известно [25], что в рабочей части аппарата (где происходит процесс кристаллизации) порозность по высоте остается практически неизменной и находится в пределах 0,7 а,^0,75, что хорошо согласуется с результатами (3.181), (3.187).

Однако не всякое стационарное состояние устойчиво. Как мы видели, для устойчивости стационарного состояния требуется выполнение неравенства do/dt^.0. То есть для устойчивости режима требуется

Рис. 3.4. Область устойчивости ламинарного режима Рис. 3.5. Область устойчивости турбулентного режима.

За положительное направление принято направление вверх по оси аппарата. В таком случае скорости падения частиц v₂ имеют отрицательный знак v₂^.0. Тогда для выполнения неравенства (3.188) требуется выполнение одного из условий.

либо.

Так как порозность слоя в кристаллизаторе а₍ всегда меньше или равна 1, то в выражениях (3.177), (3.185), характеризующих до/дa_t для ламинарного и турбулентного случаев знаменатель всегда имеет знак больше нуля. И знак в выражении до/да_х полностью определяется знаком числителей в (3.177) и (3.185). На рис. 3.4, 3.5 представлены кривые, характеризующие числитель (р в выражениях (3.177), (3.185), ответственный за знак производной до/д а,. Из рис. 3.4 следует, что устойчивость режима осуществляется в ламинарном случае при выполнении условий.

Рис. 3.6. Изменение порозности по высоте аппарата при различных углах раскрытия конуса

Из рис. 3.5 следует, что устойчивость стационарного турбулентного режима осуществляется при выполнении условий.

В кристаллизаторах наряду с влиянием расхода циркулирующего раствора на гидродинамическую обстановку в аппара;

Рис. 3.7. Изменение порозности по высоте аппарата при различных углах раскрытия конуса.

а — G = 120 Г/С, D= 100 см, d₀=0,2 см; 6 — 0=149 r/c, D= 127 см, do=0,2 см те влияет также угол раскрытия конуса. Поэтому с помощью системы уравнений (3.169) на примере кристаллизации K₂S0₄ определили при различных значениях конструктивных параметров (диаметра аппарата, угла раскрытия конуса), для заданных производительностей и размеров продукционных кристаллов, режимные параметры кристаллизации, в том числе и значение порозности. На рис. 3.6, 3.7 приведены расчетные значения порозности при различных производительностях, диаметрах аппарата, размерах продукционных кристаллов.

Из рис. 3,6 а, б и соотношений (3.192) следует, что при начальной порозности а_1О=0,7 устойчивый режим осуществляется при значении угла раскрытия конуса ф~5-=-6° независимо от размеров аппарата.

Из рис. 3.7 а, б и соотношений (3.191) следует, что устойчивый режим осуществляется при угле раскрытия конуса: ~10-н13° и тоже независимо от размера аппарата. Причем режим, осуществляемый при порозности а_|0 = 0,7 — турбулентный, при аю = 0,75 ближе к ламинарному. Следовательно, при проектировании кристаллизаторов со взвешенным слоем угол раскрытия конуса не должен быть меньше 5 и не превышать 13°. При углах раскрытия конуса меньше 5 и больше 13° можно не получить устойчивого стационарного режима независимо от скорости подачи циркулирующего раствора. Так как малейшее отклонение в скорости питания может легко вывести систему из стационарного состояния. Из наших исследований на примере кристаллизации KoSO; мы получили, что линейная скорость циркулирующего раствора на входе в аппарат не должна превышать 2-Ч-3 см/с, что хорошо согласуется с экспериментальными данными автора [25].