Построение точечных и интервальных прогнозов

Идея экономического прогнозирования временных рядов базируется на предположении о том, что закономерность развития, действовавшая в прошлом (внутри ряда экономической динамики), сохранится и в прогнозируемом будущем. В этом смысле прогноз основан на экстраполяции.

Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое — ретроспективной.

Прогнозирование методом экстраполяции базируется на следующих предположениях:

• а) развитие исследуемого явления в целом описывается плавной кривой;
• б) общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не указывает на серьезные изменения в будущем;
• в) учет случайности позволяет оценить вероятность отклонения от закономерного развития.

Надежность и точность прогноза зависят от того, насколько близкими к действительности окажутся эти предположения и насколько точно удалось охарактеризовать выявленную в прошлом закономерность.

На основе построенной модели рассчитываются точечные и интервальные прогнозы.

Точечный прогноз. Точечный прогноз для временных моделей получается подстановкой в модель (уравнение тренда) соответствующего значения фактора времени, т. е. t = п + 1, /? + 2,…, п + k, где k — прогнозируемый период.

Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции, происходит очень редко. Возникновение отклонений от прогнозного значения объясняется следующими причинами:

• • модель, выбранная для прогнозирования, является не единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать другую модель, которая дает более точные результаты;
• • прогноз осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Каждый исходный уровень обладает случайной компонентой, поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, также будет содержать случайную составляющую;
• • тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики. Отдельные наблюдения могут отклоняться от среднего уровня. Такие отклонения будут наблюдаться и в будущем.

Интервальные прогнозы. Интервальные прогнозы строятся на основе точечных прогнозов. Доверительным интервалом называется такой интервал, относительно которого можно с заранее выбранной вероятностью утверждать, что он содержит значение прогнозируемого показателя.

Ширина интервала зависит от качества модели (г.е. степени ее близости к фактическим данным), числа наблюдений, горизонта прогнозирования, выбранного пользователем уровня вероятности и других факторов.

При построении доверительного интервала прогноза рассчитывается величина Д^, которая для линейной модели имеет вид.

где S_e — стандартная ошибка (СКО от линии тренда).

Коэффициент ?_кр — табличное значение^{-статистики} Стьюдента при заданных уровне значимости, а и числе степеней свободы v.

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы: г/прош — Д^ — нижняя граница, г/_прогн + Д^ — верхняя граница.

Только проведя все необходимые проверки, можно утверждать, что прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный верхней и нижней границами. После получения всех оценок необходимо убедиться в их непротиворечивости смыслу изучаемого экономическому процесса.

Пример 10.9.

Директор интенсивно развивающейся компании планирует развитие экономической деятельности, опираясь на результаты предыдущих лет (табл. 10.24).

Таблица 10.24

Исходные данные к примеру 10.9.

Требуется выполнить следующее.

• 1. Построить линейную модель зависимости результатов экономической деятельности от времени.
• 2. Оценить качество построенной модели на основе исследований:
  • а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
  • б) отсутствия автокорреляции уровней ряда остатков по 1)1У-критерию (а = 0,05);
  • в) нормальности распределения остаточной компоненты, но критерию;
  • г) относительной максимальной ошибки.
• 3. Определить размеры прогноза экономической деятельности предприятия на следующие два квартала. Построить график полученных результатов расчетов и прогнозирования.

Решение. 1. Построение модели.

Уравнение тренда ищем в виде T_t = b₀ + b_xt. Методом наименьших квадратов, используя инструмент «Регрессия», найдем коэффициенты уравнения тренда. Получаем уравнение Т_г = 2,22 + 1,05?. Стандартная ошибка — 1,71. Коэффициент детерминации R² = 0,82, значимость уравнения (статистика Фишера) F= 41,7, F_Kp(0,05; 1; 9) = 5,12. Значимость коэффициента уравнения b_x =6,46, ?_кр(0,05; 11) = 2,26. Уравнение статистически значимо.

• 2. Оценка качества модели.
• а) Проверка случайности остаточной компоненты по критерию пиков. Данные, но остаткам приведены в табл. 10.25. На графике остатков, представленном на рис. 10.5, подсчитываем число поворотных точек р = 5. Проверяем, но формуле (10.5) значение р:

Данные по остаткам к примеру 10.9.

Таблица 10.25

Так как неравенство справедливо (5 > 3), свойство случайности выполняется.

6) Проверка отсутствия автокорреляции уровней ряда остатков по DlT-критерию. Исходные данные для расчета статистики приведены в табл. 10.25. Имеем

Критические значения статистики Дарбина — Уотсона для, а = 0,05 равны d_L = 0,93, d_v= 1,32. Найденное значение статистики попадает в интервал d_v- (4 — d_v) автокорреляция не обнаружена.

в) Проверка нормальности распределения остаточной компоненты по /^-критерию. Используем формулу (10.6):

Расчетное значение 2,98 попадает в интервал 2,67—3,69, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

г) Нахождение относительной максимальной ошибки проводим по формуле.

Отметим, что если вычислять среднюю по модулю ошибку по формуле получим |е_ср| = 1,38. Видно различие способов оценки точности модели.

Данные анализа ряда остатков приведены в табл. 10.26.

Данные анализа ряда остатков.

Таблица 10.26

Вывод. Построенная модель статистически адекватна изучаемому временному процессу, несмотря на недостаточную точность модели^[1].

3. Построение точечного и интервального прогноза на два шага вперед.

Для вычисления точечного прогноза в построенную модель подставляем соответствующие значения фактора t = n + k:

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. При уровне значимости, а = 0,05 доверительная вероятность равна 95%, а значение критерия Стьюдента при v = п — 2 = 9 равно 2,26.

Ширину доверительного интервала вычисляем по формуле (10.7):

Прогнозные значения и доверительные интервалы для них приведены в табл. 10.27.

Таблица 10.27

Прогнозные значения и доверительные интервалы к примеру 10.9.

На рис. 10.6 представлены исходные и рассчитанные по уравнению регрессии данные с учетом прогнозных значений.

Рис. 10.6. Исходные и расчетные данные к примеру 10.9:

-1/(0:  — Упф)

Вывод. Модель регрессии имеет вид T_t = 2,22 + l, 05f. Модель адекватна по всем проверенным параметрам и может использоваться для краткосрочного прогноза.

* * *.

На этом мы заканчиваем рассмотрение временных рядов. Существуют и другие методы сглаживания и коррекции временных рядов, но их рассмотрение выходит за рамки настоящей книги.

• [1] Это повлияло на прогнозные значения в сторону увеличения ширины доверительногоинтервала (см. далее табл. 10.27).