Как мы уже уяснили, важнейшей операцией математического анализа является дифференцирование, которое по заданной функции определяет новую функцию — ее производную. Здесь вполне уместно поставить вопрос об обратной операции для дифференцирования, которая по заданной производной восстанавливала бы исходную функцию. Интегрирование — так называется эта операция, — наряду с дифференцированием является важнейшей составляющей высшей математики, в той или иной форме встречается во всех областях знаний, использующих математические средства для решения своих конкретных задач. Глубинный смысл, как думает профессор Ю. В. Павлюченко, этого понятия раскрывается в латинской первооснове слова «интегрирование» — что значит объединение, собирание воедино, в противоположность дифференцированию, которое означает разделение, разобщение.
Неопределенный интеграл: основные определения и понятия
Техника интегрирования. Предположим, что на некотором промежутке (конечном или бесконечном, замкнутом или открытом) задана непрерывная функция у =/(х). Дадим следующие основные определения.
Определение 10.26. Функция у = F (x) называется первообразной функции у = f (x), если в каждой точке промежутка функция f (x) является производной функции F (x):
Определение 10.27. Однопараметрическое семейство первообразных функций F (x) + С называется неопределенным интегралом функции /(х):
Здесь символ | — знак интеграла;/(х) — подынтегральное функция; произведение/(я:)"!г — подынтегральное выражение; С — произвольная постоянная.
Отыскание всех первообразных данной функции называется ее интегрированием. Запишем формулы, выражающие данные выше определения и взаимную обратимость дифференцирования и интегрирования.
Табличные интегралы. По таблице производных составим таблицу интегралов некоторых элементарных функций (табл. 10.2). Каждая из этих новых формул легко проверяется дифференцированием.
Таблица 10.2
Таблица интегралов.
ха+1. 1. jxadx = «+‘ + С (а -1). | 6. Jexdx — ех + С |
f dx, , ,. | с с/х 7−1 2 — tgx + С J COS-X |
3. jsinx<&: = -cosx + С | г с/х 8.. 9 -ctg* + С J sinzx |
4. jcosхс/х = sinx + С | Г с/х 9. -, = arctgx + С J + X* |
г а' 5. а’с/х =. + С J та | 10. ftgxdx= -ln|cosx| + С. |