Чистый изгиб стержня

Рассмотрим чистый изгиб стержня, поперечное сечение которого имеет две оси симметрии (х и у)_} причем одна из них (ось у) лежит в плоскости изгиба (рис. 4.3). В случае материала, у которого механические свойства в условиях ползучести при растяжении и сжатии одинаковы, ось симметрии х является нейтральной осью.

При чистом изгибе стержня поперечное сечение его остается плоским. Поэтому деформация является линейной функцией расстояния у от нейтральной оси х. Поскольку, как указывалось в предыдущем параграфе, при установившейся ползучести условиям совместности деформации должны удовлетворять компоненты деформации ползучести, то.

где — кривизна оси стержня, образовавшаяся вследствие ползучести материала.

Примем степенную зависимость деформации ползучести от напряжения (1.10). Тогда из выражений (1.10) и (4.12) получаем.

Форма уравнения (4.13) обусловлена изменением знака напряжения, а при изменении знака координаты у. Изгибающий момент.

Рис. 4.3. К решению задачи установившейся ползучести изогнутого стержня.

М == | oy dF. Подставив в него соотношение (4.13), получим.

Назовем интеграл в выражении (4.14) обобщенным моментом инерции поперечного сечения относительно оси х и обозначим его.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Из выражений (4,13) и (4.16) получаем формулу для нормального напряжения в поперечном сечении стержня Из соотношения (4.14), воспользовавшись выражением (4.15), представим кривизну изогнутой оси стержня, возникшую в результате ползучести материала, в следующем виде:

Для стержня прямоугольного поперечного сечения шириной Ь и высотой h из формулы (4.15) устанавливаем, что.

Проинтегрируем это выражение:

Для стержня круглого полого сечения с наружным диаметром D и внутренним диаметром d-no формуле (4.15) находим Положим в первом и втором интегралах соответственно =.

= 2 ylD =* 2 у Id.

где.

Зя+1.

Для сплошного круглого стержня диаметром D J_м = a₂D ^п .

Аналогично для стержня, поперечное сечение которого представляет собой тонкостенное кольцо со средним диаметром D и толщиной стенки б, по формуле (4.15) получим.

^где «•-[^Г№)17^Г(^!Ч^:1)‘.

На рис. 4.4 представлены графики зависимостей этих коэффициентов от показателя степени п.

Максимальное нормальное напряжение можно получить по формуле (4.17), полагая, что у = Ы2 (h — высота поперечного сечения). Тогда а_т&_х = MiW_nx, где — обобщенный момент сопротивления изгибу поперечного сечения;

Для прямоугольного поперечного сечения.

Для круглого полого сечения

Для круглого сплошного сечения.

Для тонкостенного кольца.

На рис. 4.5 представлены графики зависимостей olMIW_x от 2ylh, построенные по формулам (4.17)—(4.19). Эти графики характеризуют вид эпюр распределения напряжений в прямоугольном поперечном сечении стержня в случае различных показателей степени п при установившейся ползучести. Из рис. 4.5 следует, что при ползучести максимальное нормальное напряжение меньше, чем в начальный момент времени. Чем выше показатель степени п, тем значительнее уменьшается наибольшее нор;

Рис. 4.5. Эпюры безразмерных нормальных напряжений в прямоугольном поперечном сечении изогнутого стержня в условиях установившейся ползучести при различных значениях п.

мальное напряжение, и нормальные напряжения выравниваются по сечению.

Далее, как следует из этих графиков, точки пересечения их с прямой (п = 1) близки друг к другу. Безразмерные абсциссы их 2y/h 2/3, что точно имеет место в случае пересечения двух прямых для п = 1 и п = оо.