Связь между корреляционными функциями и спектральными плотностями случайного процесса на входе и выходе линейной системы автоматического управления

Если на входе САУ действует случайный сигнал, то выходной сигнал также будет случайным. Пусть на входе САУ с передаточной функцией W (p) и весовой функцией iv (t) действует одно стационарное случайное воздействие x (t), для которого известны корреляционная функция R_x(т) и спектральная плотность Sjetoo). На выходе системы имеем стационарный случайный процесс y (t) с корреляционной функцией К_у(т) и спектоальной плотностью S.Гео') Гоис. 1.12').

Рис. 1.12. САУ с одним входным сигналом.

С помощью интеграла свертки выходной сигнал можно представить через значение входного сигнала и весовую функцию системы следующим образом:

На выходе системы корреляционную функцию Я_у(т) можно определить, как.

Если подставить в последнее выражение найденные значения дляу (1) и у (1 + т), то выражение R>,(т) примет вид.

После изменения порядка интегрирования будем иметь Выражение.

представляет собой корреляционную функцию сигнала на входе системы.

Учитывая выражение (1.10), из формулы (1.9) получим соотношение для корреляционной функции на выходе САУ:

При исследовании систем автоматического управления в ряде случаев необходимо определить не корреляционную функцию выходной величины у (t), а только ее среднее квадратическое отклонение a_y(t) или дисперсию при mJt) = 0.

Дисперсия D_y или среднее квадратическое отклонение a_y(t) случайного процесса y (t) могут быть получены из корреляционной функции Я_у(т) при т = 0:

Непосредственное вычисление корреляционной функции Я_у(т) или дисперсии D_y и среднего квадратического отклонения a_y(t) по приведенным соотношениям является достаточно сложным и трудоемким процессом, так как требует вычисления двукратных интегралов.

Выражение (1.11) значительно упрощается, если входное воздействие будет иметь характер белого шума, корреляционная функция которого.

С учетом (1.13) из соотношения (1.12) получим.

На основании свойства 5-функции и для вычисления дисперсии имеем выражение

Учитывая условие физической реализуемости системы автоматического управления.

можно принять нижний предел в интеграле (1.14) равным нулю. Тогда.

В частотной области связь между входным и выходным случайными сигналами определяется спектральными плотностями.

Подставим в выражение (1.4) соотношение (1.11) и получим.

Умножим и разделим правую часть последнего выражения на е-'^мт1 и e^_J"^T2:

Как известно, связь между весовой функцией системы iv (t) и комплексным коэффициентом усиления (частотной характеристикой системы) W (jw) определяется выражениями.

С учетом этого соотношение (1.15) примет следующий вид:

Из выражения (1.16) связь между спектральными плотностями на входе и выходе САУ значительно более простая и наглядная, чем связь между корреляционными функциями.

Зависимость корреляционной функции И_у(т) и дисперсии D_y случайного процесса на выходе системы у (О от спектральной плотности S_A.(eo) входного воздействия x (t) можно представить следующим образом:

Из сравнения (1.17) и (1.12) очевидно, что дисперсия D_y и среднее квадратическое отклонение a_y(t) случайного процесса у(t) значительно проще выражаются через спектральную плотность 5д.(со) входного воздействия x (t), чем через его корреляционную функцию R_x(т). Кроме этого, при вычислении дисперсии D_y и среднего квадратического отклонения а_у через спектральную плотность S^co) в качестве характеристики системы используется амплитудно-частотная характеристика W (jco), которая, как правило, более просто выражается через параметры системы, чем весовая функция и/(Г), необходимая для вычисления Я_у(т) и D_y.

При исследовании САУ большое значение имеют взаимная корреляционная функция R^ и взаимная спектральная плотность S_xy между входным x (t) и выходным у (t) сигналами. Найдем выражение для взаимной корреляционной функции R_xy и взаимной спектральной плотности S^ между входным x (t) и выходным y (t) сигналами через корреляционную функцию R (x) и спектральную плотность S (ot>) одного из них и передаточную W (p) = Y (p)/X (p) или весовую vv (t) функцию системы.

Как известно, связь между входным x (t) и выходным y (t) сигналами определяется теоремой свертки. Тогда взаимная корреляционная функция согласно (1.2) имеет вид.

Взаимная спектральная плотность согласно (1.6).

Так как взаимная спектральная плотность является комплексной нечетной функцией, то из последнего выражения имеем.

При прохождении стационарного случайного сигнала через линейную систему иногда необходимо знать, как изменяется плотность вероятности выходного сигнала по сравнению с входным. Известно [12], что при стационарном случайном входном сигнале, функция плотности вероятности которого подчиняется нормальному закону, сигнал на выходе САУ также будет изменяться по нормальному закону.

Как правило, в реальных системах полоса пропускания САУ значительно меньше ширины кривой спектральной плотности. В этом случае независимо от вида кривой плотности вероятности входного сигнала закон распределения функции плотности вероятности выходного сигнала будет близок к нормальному [12].

Рассмотрим примеры определения характеристик случайных процессов на выходе динамических звеньев.

Пример 1.1. Спектральная плотность случайного сигнала на выходе идеального дифференцирующего звена с передаточной функцией W (p) = К_{р согласно выражению (1.16).

Отсюда видно, что дифференцирующее звено ослабляет сигналы низких частот и усиливает сигналы высоких частот.

Соответственно, спектральная плотность сигнала на выходе интегрирующего звена с передаточной функцией W (p) = K_t/p

Введение

в систему интегрирующего звена уменьшает амплитуды высокочастотных составляющих и увеличивает низкочастотные составляющие. Ошибки системы от воздействия помех, имеющих широкий спектр, при наличии интегрирующего звена уменьшаются.

Пример 1.2. Для сглаживания помех в прямую цепь САУ включен фильтр с передаточной функцией.

гяеК= 2.

Входное воздействие Н_вх(?) — белый шум со спектральной плотностью S (w) =Sj= 1,5? 10″ ⁴ В²-с.

Необходимо определить постоянную времени Т, при которой среднее квадратическое значение флуктуации напряжения на выходе фильтра U_Bba(t) не будет превосходить о_вых < 0,16. Согласно (1.17).

и постоянная времени Т для обеспечения необходимого ст_11ЫХ должна удовлетворять соотношению.

Пример 1.3. Работа интегро-дифференцирующего фильтра (рис. 1.13) описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

где Т и Т_г — постоянные времени, причем для фильтра, изображенного на рис. 1.13, а, коэффициенты Т и Т_г соответственно равны.

а для фильтра на рис. 1.13, б

На вход фильтра поступает случайное напряжение x (f), представляющее собой стационарный гауссовский белый шум нулевым математическим ожиданием и корреляционной функцией вида Я_х(т) = =А²5(т).

Рис. 1.13. Два варианта построения схемы интегродифференцирующего фильтра.

Определить спектральную плотность S_y(ш) и корреляционную функцию R_y® напряжения у (t) на выходе фильтра.

В соответствии с дифференциальным уравнением фильтра комплексный коэффициент усиления.

Тогда согласно (1.17) спектральная плотность выходного сигнала.

График спектральной плотности S_y(co) на выходе интегродифференцирующего фильтра представлен на рис. 1.14, а. Из него при ю —? а> и Г, -ф Т спектральная плотность S_y(A²Tf / Т². Если постоянные времени.

Т₁иТ равны, то S_y(co) = А², т. е. процесс на выходе фильтра в этом случае равен входному белому шуму. При Т, = 0 интегро-дифференцирующий фильтр ведет себя как обычная интегрирующая RC-цепь.

Для вычисления корреляционной функции R_y(т) воспользуемся формулой Винера — Хинчина.

Учитывая выражение для S_y(m) и подстановку е)" ^п = cos сот + +jsin ют, получим.

Рис. 1.14. Спектральная плотность (о) и корреляционная функция (б) на выходе интегродифференцирующего звена.

Второй интеграл в последнем выражении в силу нечетности подынтегральной функции и симметричности пределов равен нулю, поэтому корреляционная функция.

Учитывая, что.

окончательное выражение для R_y® имеет вид.

При Т=Т_Х получим В случае Т, = О.

График корреляционной функции R_y(т) приведен на рис. 1.14, б.