Анализ устойчивости коммерческой деятельности

Анализ устойчивости коммерческой деятельности предприятия связан с изучением степени влияния динамики изменения показателей условий среды на результаты коммерческой деятельности.

Так, после того как получено оптимальное решение в п. 2.3.2, по исходным статическим условиям задачи п. 2.2.1 проводится анализ моделей на чувствительность изменения оптимального решения к возможным изменениям внешних условий, т. е. динамике реальной жизни. Безусловный интерес представляют вопросы оценки влияния изменения спроса, запасов сырья, а также оптовых или розничных цен на оптимальное решение. В таком случае рассматривается по частям некоторый комплекс линейных оптимизационных моделей, что и придает модели динамичность, позволяющую проанализировать в совокупности влияние возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение. Таким образом, проводится исследование коммерческой деятельности на моделях, динамические характеристики которых отображают природу реальных процессов жизни, поскольку вначале полученное статическое решение может устареть и быть непригодным для реализации.

Взаимосвязь экономических показателей рассматриваемой задачи можно представить в виде следующего выражения:

Доход =/(ресурсы, спрос, цены, инвестиции).

Перейдем к последовательному анализу влияния факторов на критерий целевой функции дохода от продажи краски для наружных и внутренних работ. В общем виде экономикоматематическая модель поставленной в п. 2.2.1 задачи имеет следующий вид:

Взаимосвязь показателей этой задачи можно представить в виде графа древовидной структуры (рис. 2.4), состоящего из показателей коммерческой деятельности (элементов), уровней и связей между ними.

Рис. 2.4.

Анализ чувствительности заключается в количественной оценке степени влияния изменения на 1% или на 1 ед. каждого из показателей нижнего уровня на показатели верхнего уровня. Таким образом, можно определить чувствительность изменения выручки от реализации в зависимости от изменения других включенных в модель показателей. Кроме того, можно определить зоны устойчивости работы предприятия, выявить диапазоны возможного изменения каждого показателя коммерческой деятельности.

Воспользуемся результатами, полученными в п. 2.3, и запишем экономико-математическую модель задачи.

Графический метод позволил получить статическую область допустимых решений, представленную на рис. 2.5.

• 1. Рассмотрим, как влияет на оптимальное решение изменение запасов ресурсов А и В. Возможны два варианта постановки этой задачи:
  • а) насколько можно увеличить запас ресурса А или В для улучшения полученного оптимального значения дохода от продажи краски;
  • б) насколько можно уменьшить запас ресурса Л или В при сохранении полученного оптимального значения дохода от продажи?

Рис. 2.5

Эти задачи называют анализом модели на устойчивость (чувствительность) к правой части (ограничений), так как величина запаса каждого ресурса записывается именно в правой части условий-ограничений. Ограничения линейной модели делятся на связывающие (активные) и несвязывающие {неактивные).

Ресурс, соответствующий связывающему ограничению, является дефицитным ресурсом, так как он используется полностью. Ресурс же, соответствующий несвязывающему ограничению, является недефицитным ресурсом, так как он имеется в избытке. Поэтому при анализе модели на чувствительность к правым частям ограничений определяют:

• • предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение;
• • предельно допустимое уменьшение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденное ранее оптимальное решение. Это особенно важно, если остатки недефицитного ресурса можно использовать для других целей.

Следует заметить, что анализировать влияние на оптимум увеличения недефицитных ресурсов или уменьшения объема дефицитных ресурсов не имеет смысла, поскольку в первом случае и без того избыточный ресурс становится еще более избыточным, что никак не скажется на полученном ранее решении. Вторая же часть задачи особенно важна, поскольку сокращение объема дефицитного ресурса никогда не улучшает значения целевой функции и, следовательно, приведет к уменьшению дохода от реализации, т. е. ухудшению показателей коммерческой деятельности предприятия.

В рассматриваемой задаче используемые запасы сырья А и В являются дефицитными ресурсами, поэтому последовательно рассмотрим сначала увеличение запасов сырья (ресурса) А.

На рис. 2.6 видно, что при увеличении запаса этого ресурса прямая (1) перемещается вверх параллельно самой себе, при этом треугольник DKE постепенно стягивается в точку К(3,2). В этом случае областью допустимых решений становится многоугольник ABCKF, а оптимальному решению соответствует точка К, а ограничения (2) и (4) становятся связывающими. В точке К ограничение (1) становится избыточным, поскольку любое дальнейшее увеличение запаса ресурса А не влияет ни на область допустимых решений, ни на оптимальное решение. Именно в этом и состоит отличие недефицитности ресурса от его избыточности: исключение избыточного ограничения не изменяет ни области допустимых решений, ни самого оптимального решения, в то время как исключение исходного ограничения, соответствующего дефицитному ресурсу, всегда изменяет область допустимых решений, но не всегда — оптимальное решение. Таким образом, нет необходимости увеличивать объем сырья А сверх того предельного значения, при котором соответствующее ему ограничение (1) станет избыточным, где прямая (1) пройдет через точку К, что и указывает на новое оптимальное решение.

Этот предельный уровень можно найти следующим образом. Сначала определяются координаты точки К, являющей;

Рис. 2.6.

ся точкой пересечения прямых (2) и (4), которая находится из решения системы уравнений.

Затем путем подстановки координат точки К{3; 2) в левую часть ограничения (1) определяется максимально допустимый запас ресурса А

Следовательно, разумно увеличить запас сырья А на 0,5 т, при этом новое оптимальное значение целевой функции будет.

2. Аналогично решается задача о целесообразности увеличения запасов дефицитного ресурса (сырья) В в соответствующем ограничении (2) (рис. 2.7).

Новым оптимальным решением становится точка L, где пересекаются прямые (1) и (6), т. е. 0,5х_м + х_в = 3 и х_и = 0,5. Очевидно, ее координаты х_и = 5 и х_в = 0,5, причем запас сырья В можно увеличить до значения, равного х_н + 0,5х_в = = 5 + 0,5 0,5 = 5,25 т, т. е. на 1,25 т, тогда новое оптимальное значение целевой функции будет равно.

3. Рассмотрим теперь решение задачи о возможности снижения запасов недефицитных ресурсов (т.е. об уменьшении правой части несвязывающих ограничений).

Ограничение (4) х_в < 2 задает уровень спроса на краску для внутренних работ. На рис. 2.8 видно, что прямую CD (4) можно опускать параллельно вниз до пересечения с точкой.

Рис. 2.7.

Рис. 2.8.

1 1

Е (3-; 1-), не изменяя оптимального решения. Таким обра;

О О зом, при уменьшении спроса на краску для внутренних работ.

1 12.

до величины х_в = 1-, т. е. на (2 — 1-) = оптимальность по;

3 3 3.

лученного ранее решения сохраняется.

Ограничение (3) х_н + х_в <1,5 представляет собой соотношение между суточным спросом на краску для внутренних работ и суточным спросом на краску для наружных работ. В этом случае правую часть ограничения также можно уменьшать до тех нор, пока прямая ВС (3) (рис. 2.9) не достигнет точки Е.

Рис. 2.9.

При этом правая часть ограничения (3) станет равной -х_и + х_п = -3- + 1 — = -2 т, а само решение (3) может быть за;

О kJ.

писано в виде.

Полученный результат показывает, что если суточный спрос на краску для наружных работ будет превышать суточный спрос на краску для внутренних работ не менее чем на 2 т, то ранее полученное оптимальное решение также не изменится.

Полученные результаты можно обобщить и представить в виде табл. 2.17.

Таблица 2.17

4. При решении задач анализа модели на чувствительность в условиях ограничения на затраты, связанные с дополнительным привлечением ресурсов или с инвестициями, что характерно для большинства экономических задач, возникает задача выбора предпочтения ресурсов при вложении дополнительных средств. Для этого вводится показатель ценности (pj) дополнительной единицы ресурса i-го вида, которую можно найти по формуле.

где Abj — предельно допустимое изменение запаса ресурса; AFj — соответствующее предельное приращение оптимального значения целевой функции.

Используя данные табл. 2.17, например для ограничения (1), вычислим ценность соответствующего ресурса Л

Аналогично можно определить ценность единицы каждого из остальных используемых ресурсов, что и представлено в последнем столбце табл. 2.17.

На основе полученных данных можно сделать вывод о том, что дополнительные вложения (инвестиции) следует направить прежде всего на увеличение ресурса Ь (сырье А)

2 2.

Р = 2-, а затем уже — на увеличение ресурса Ь₂ (сырье В) р₂ =

О J.

Как и предполагалось ранее, увеличивать объем недефицитных ресурсов не следует (/?з ⁼ Р ⁼ 0).

5. Рассмотрим теперь, в каких пределах возможно изменение цен на краску, при которых не происходит изменения оптимального решения. Цены на краску с_и и с_и определяют наклон линии целевой функции F (X) = c_ltx_l{ + cjc_b. Уменьшение с_н или увеличение с_в приводит к вращению линии целевой функции против часовой стрелки относительно точки Е вплоть до совпадения с линией DE графика (1) (рис. 2.10). В этом случае доход от продажи изменяется, а множество вариантов плана получим на прямой DE. Такое же явление наблюдается при вращении линии целевой функции по часовой стрелке относительно точки Е при изменении коэффициентов целевой функции в противоположную сторону, что и указано на рис. 2.10. В этом случае получим на линии^{множество} альтернативных решений х_п и х_ВУ крайние из которых (точки Е и F) указывают на получение оптимальной величины дохода.

Дальнейший анализ заключается в определении допустимого интервала изменения цены с_н при постоянной цене с_в = 3, при котором решение остается оптимальным. Находим максимальное значение с," увеличивая его до тех пор, пока наклон прямой целевой функции не совпадает с прямой EF (2), тогда это значение находится_из равенства тангенсов углов наклона линий с_пх_в + Зх_в = F (X) и х_н + 0,5х_в = 4.

При этом доход от реализации увеличится и может соста- 1 1.

вить 6−3-+3*1- = 24 тыс. руб. Аналогично минимальное зна- 3 3 ^J

чение с_н находим, уменьшая его до тех пор, пока наклон прямой, соответствующей целевой функции, не совпадет с прямой.

DE (1), тогда это значение находится из равенства тангенсов углов наклона линий c_ltx_u + Зх_в = F (X) и 0,5дг_н + х_в = 3:

При этом доход от реализации уменьшится и станет рав- 11.

ным 1,5 • 3- + 3 • 1 — = 9 тыс. руб. Таким образом, допустимый ин- 3 3.

тервал изменения цены с_н, в котором точка Е остается единственной оптимальной, определяется неравенством 1,5 < с_и < 6. При с" =1,5 оптимальным решением является весь отрезок DE, его любая точка, включая точки Е и D. Если с_н < 1,5, то оптимум смещается в точку D.

Рис. 2.10.

Аналогично при с_н = 6 оптимальное значение целевой функции достигается в любой точке отрезка EF, включая точки Е и F. Если же с_н > 6, то в этом случае оптимум смещается в точку F.

Следует заметить, что при с_н <1,5 ресурс Ь_А становится дефицитным, а ресурс Ь₂ — недефицитным, т. е. если выручка от продажи 1 т краски для наружных работ станет меньше 1,5 тыс. руб., то для фабрики наиболее выгодно выпускать максимально допустимое количество краски для внутренних работ, х_в = 2 т в сутки. При этом общее потребление сырья В снизится, что обусловит недефицитность этого ресурса в ограничении (2).

Соответствующие выводы можно сделать и для случая с_н > 6, когда ресурс Ь₂ становится дефицитным, а ресурс Ь — недефицитным. В этом случае доход от продажи 1 т краски для наружных работ будет больше 6 тыс. руб. и наиболее выгодным становится выпуск только краски этого вида (точка F) в объеме х_н = 4 т в сутки. При этом общее потребление недефицитного сырья А снижается, Ь — в ограничении (1).

Аналогичные вычисления можно сделать и для цены на краску для внутренних работ с_в

Таким образом, допустимый интервал изменения цены для нее составит 1,0 < с_н < 4, при этом единственным опти;

1 1.

мальным решением остается точка Е (3-; 1-). Если цена с_в =.

О О.

= 1 тыс. руб., то оптимальной является любая точка отрезка EF. При дальнейшем уменьшении цены с_в краски для внутренних работ оптимум смещается в точку Е, следовательно, выпуск фабрикой краски этого вида становится невыгодным. Если же цена с_в = 4 тыс. руб., то оптимальное значение целевой функции достигается в любой точке отрезка DE, а дальнейшее увеличение цены св смещает оптимум в точку D.

6. С целью расширения использования возможностей методов и моделей линейного программирования воспользуемся еще составлением двойственной задачи по отношению к исходной или прямой. Обозначим у, у₂, Уз, У двойственные оценки (теневые стоимости) единицы каждого ресурса задачи. Тогда двойственная задача формулируется следующим образом: определить оценку единицы каждого вида ресурса, чтобы при заданных объемах ресурсов, нормах их расхода и показателях дохода общая стоимость затраченных ресурсов была бы минимальной.

Запишем математическую модель двойственной задачи к сформулированной выше в п. 2.3.2 примера 2.3 прямой задаче линейного программирования.

Решение двойственной задачи определяет оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для производства красок. Установим сопряженные пары прямой и двойственной задач:

Пользуясь решением прямой задачи (табл. 2.7), получим (табл. 2.18) решение двойственной задачи, для чего перепишем симплексную таблицу оптимального решения.

Таким образом, оптимальный план двойственной задачи к задаче планирования производства краски имеет следующий вид:

Проведем анализ оптимального плана двойственной задачи. В оптимальном плане условные двойственные оценки единицы ресурсов первого и второго видов отличны от нуля:

2 2.

у = 2 —; г/2 ⁼ -• Ресурсы этих видов в оптимальном плане 3 3

прямой задачи используются полностью, поскольку дополнительные переменные х* = 0; х₂ = 0.

Двойственные оценки равны нулю: г/з = 0; гД = 0, что свидетельствует о необеспеченности спроса, а дополнительные.

Q г 2.

переменные х₃ = 3,5; х₄ = — вошли в оптимальный план про;

О изводства краски.

Двойственные оценки в оптимальном плане больше нуля у тех видов ресурсов, которые полностью используются при производстве краски. Эти оценки определяют дефицитность.

2 2.

ресурсов А и В, а их величины у = 2-; у₂ = - показывают, насколько возрастает максимальное значение дохода от продажи краски в прямой задаче при увеличении количества соответствующего вида ресурса па единицу. Например, увеличение ресурса А на 1 т приведет к такому плану, при котором.

доход от продажи краски возрастет на 2- тыс. руб. и станет.

2 2 1 ^.

равным 10- + 2- = 13- тыс. руб. Увеличение же ресурса В на 3 3 3

1 т приведет к другому оптимальному плану, при котором доход от продажи краски возрастет на ^ тыс. руб. и станет рав- 2 2 1 ^.

ным 10- + - = 11- тыс. руб. Следует заметить, что коэффио о о

циенгы симплексной таблицы, расположенные в столбце переменной х, показывают, что указанное увеличение дохода по ресурсу А достигается за счет увеличения производстx 4.

ва краски внутренних работ на — т и уменьшения произвол;

3 2.

ства краски для наружных работ на — т в сутки. Значение це;

О левой функции при этом составит.

Аналогичные рассуждения можно провести по переменной симплексной таблицы Х2, где соответственно расположенные коэффициенты указывают на увеличение дохода от реализации краски при изменении ресурса В за счет уменьшения производства краски для внутренних работ на — т.

и одновременного увеличения производства краски для наружных работ на ^ т в сутки. Значение целевой функции при о этом составит.

При подстановке оптимальных значений двойственных оценок в систему ограничений двойственной задачи получим.

Первое и второе ограничения двойственной задачи являются равенствами, следовательно, двойственные оценки ресурсов, используемые для производства краски для наружных и внутренних работ, равны в точности доходу, получаемому от их продажи. Поэтому продажа указанных видов краски экономически целесообразна в соответствии с оптимальным планом прямой задачи.

Представляют интерес в решении задачи только две * 2*2.

двойственные оценки: у = 2 —; г/2 ⁼ о* ®^ни характеризуют.

3 3.

«стоимость» ресурсов А и В. Проведем анализ устойчивости двойственных оценок относительно изменений ресурсов Л и В (см. п. 2.4.3).

Первый вид ресурса А (столбец х{) может изменяться в пределах.

Следовательно, интервал изменения ресурса Л будет равен Второй ресурс В (столбец х₂) может изменяться в пределах.

Следовательно, интервал изменения ресурса В равен.

Составим субоптимальные варианты плана с учетом изменений исходных данных модели.

1. Пусть суточный запас сырья А уменьшился на 1 т.

В результате производство краски для наружных работ возросло до 4 г, а для внутренних работ снизилось до нуля, доход от реализации сократился до 8 тыс. руб. (табл. 2.19).

Таблица 2.19

2. Пусть суточный запас сырья В увеличился на 2 т.

В результате производство краски для наружных работ возросло до б, внутренних работ снизилось до нуля, доход от реализации увеличился до 12 тыс. руб. (табл. 2.20).

Таблица 2.20

Важно заметить, что математические методы реализованы в виде специальных программ в компьютерах. Однако постановку и расшифровку получаемых решений осуществляет человек, и на это уходит основное время, а реализация на компьютере составляет малое время.

Таким образом, можно проводить математическое моделирование вариантов продажи, учитывая динамику реальной жизни, и прогнозировать устойчивость коммерческой деятельности предприятия.

Задачи Найдите новое оптимальное решение по производству фабрикой красок и их продаже при следующих условиях.

• 1. Отдел снабжения фабрики прогнозирует на следующий месяц недопоставку сырья В в объеме 1,5 т в сутки.
• 2. Отдел рекламы при проведении рекламной кампании прогнозирует на летний сезон увеличение продажи краски для внутренних работ до 4 т в сутки.
• 3. Производственный отдел предлагает новый технологический процесс, который позволит снизить расход сырья А и В па производство 1 т краски для наружных работ с 0,5 и 1 т до 0,4 и 0,8 г соответственно.
• 4. Маркетинговый отдел прогнозирует на зимний сезон снижение цен краски для внутренних работ и наружных работ с 3 тыс. и 2 тыс. руб. до 2,5 тыс. и 1,5 тыс. руб. за 1 т соответственно.
• 5. Отдел сбыта установил, что спрос на краску для внутренних работ никогда на превышал 3 т в сутки.
• 6. Маркетинговый отдел предлагает выпускать еще один вид краски для покраски автомобилей с расходом сырья А и В соответственно 0,4 и 1,1 но цепе 4 тыс. руб. за 1 т.
• 7. Отдел снабжения прогнозирует на следующий месяц увеличение поставки сырья А на 2 т в сутки.
• 8. Отдел снабжения на следующий месяц прогнозирует снижение поставки сырья А на 0,5 т и увеличение поставки сырья В на 1 т в сутки.
• 9. Отдел снабжения на следующий месяц планирует увеличить поставки сырья А на 0,5 т в сутки.
• 10. Отдел снабжения на следующий месяц планирует недопоставку сырья В на 1,5 т в сутки.