Задачи для самостоятельного решения

• 2.1. На рынке некоторого продукта существует дуополия Курно. Обратная функция спроса на рынке имеет вид Р = 24 — Q, где Q = <�у, + ц_т Издержки фирм заданы как ГС, = 18г/_р ТС₂ = 9ц_т Целью каждой из фирм является максимизация прибыли. Сформулируйте данную экономическую ситуацию как игру, т. е. задайте множества игроков, их стратегий и выигрыши, как функции от выбранных игроками стратегий. Изобразите линии наилучшего ответа в пространстве (</, (/,). Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях в данной игре и дайте его экономическую интерпретацию.
• 2.2. Пусть население страны идеологически равномерно распределено па отрезке [0; 11 (вероятно, от крайне левых до крайне правых). Два кандидата в президенты выбирают свою идеологическую платформу — точку на отрезке [0; 11. Каждый

избиратель голосует за того кандидата, который ближе к его идеологии. Равноудаленные избиратели равновероятно выбирают одного из кандидатов. Например, если первый кандидат выбирает точку 0,3, а второй — 0,6, то они получают соответственно 45 и 55% голосов. Пусть кандидаты заботятся только о том, чтобы набрать наибольшее число голосов (идеология их совершенно не интересует).

• 1. Какие идеологические платформы выберут кандидаты в равновесии?
• 2. Как изменится ответ на первый вопрос, если кандидатов трое?
• 3. Как изменится ответ на первый вопрос, если кандидатов четверо или пятеро?
• 2.3. Пусть население страны идеологически равномерно распределено на отрезке [0; 1] (вероятно, от крайне левых до крайне правых). Каждый избиратель может стать кандидатом в президенты на своей текущей позиции (т.с. про каждого известны его политические взгляды). Для этого ему необходимо понести фиксированные затраты на предвыборную кампанию, равные 1 сд. Если избиратель нс стал кандидатом, то он голосует за того кандидата, который ближе к его идеологии. Равноудаленные избиратели равновероятно выбирают одного из кандидатов. Если кандидат выигрывает выборы, то его полезность равна 2 ед. минус 1 ед. затрат, т. е. 1 ед. Полезность избирателя, не участвующего в качестве кандидата, равна и = -ху|, гдех — позиция избирателя; у — позиция победившего кандидата (в случае равенства голосов победитель определяется случайным образом с равными вероятностями). Полезность кандидата, проигравшего выборы, равна и = -х — у — 1, так как он понес затраты 1 ед. на предвыборную кампанию. Определите равновесные по Нэшу наборы чистых стратегий для избирателей в данной игре (стратегией здесь является решение: становиться ли кандидатом). Всегда ли голосовать за ближайшего кандидата рационально со стратегической точки зрения?
• 2.4. Пусть среди п лиц проводится закрытый аукцион первой цены. Аукцион устроен следующим образом. Каждый из участников указывает неотрицательную ставку, не зная ставок других участников. Участник, сделавший наибольшую ставку, выплачивает указанную им сумму и получает некоторый предмет. Пусть каждый участник i имеет оценку предмета v_i9 выраженную в денежных единицах, такую что v_x > v₂ > … > v_n > 0. Эти оценки известны всем участникам. Если два участника указывают одинаковую ставку, то предмет достается участнику с наименьшим номером. Кто и, но какой цене получает предмет в равновесии в чистых стратегиях?
• 2.5. Пусть среди п лиц проводится закрытый аукцион второй цены. Аукцион устроен следующим образом. Каждый из участников указывает неотрицательную ставку, не зная ставок других участников. Участник, сделавший наибольшую ставку, выплачивает максимальную сумму среди ставок других участников (г.е. сумму второй по величине ставки) и получает некоторый предмет. Пусть каждый участник i имеет оценку предмета v_jy выраженную в денежных единицах, такую что v_] > v₂ > … > v_n > 0. Эти оценки известны всем участникам. Если два участника указывают одинаковую ставку, то предмет достается участнику с наименьшим номером. Покажите, что стратегия участника сделать ставку, равную его оценке предмета, слабо доминирует любую другую стратегию независимо от действий других участников. Приведите пример равновесия, но Нэшу в чистых стратегиях, в котором предмет достается не первому участнику.
• 2.6. Пусть два игрока спорят, но поводу того, кому должен принадлежать некоторый объект. Каждый из игроков имеет известную другому положительную оценку объекта v_jt выраженную в денежных единицах (эти оценки различны). Кому достанется объект, зависит от тех денежных средств, которые будут выделены на спор по поводу объекта. Объект достанется тому, кто выделит больше средств. В случае равенства — игроку с наибольшей оценкой. При этом игрок, который не получает объекта, также теряет выделенные средства. Игроки одновременно и независимо выбирают объем выделенных средств. Представьте описанную ситуацию как игру. Покажите, что полученная игра не имеет равновесий по Нэшу в чистых стратегиях.
• 2.7. Жители сельской общины зарабатывают выпасом овец. Число семей в общине равно 6. Овец пасут на общем пастбище. Чем больше на нем пасется овец, тем меньше каждой из них достается травы. Пусть выпас одной овцы на общественном пастбище приносит доход v (G) = 2000 — G² (ед.) при G < 45 и v (G) = 0 при G > 45, где G — общее число овец в общине. Расходы на содержание одной овцы составляют 272 ед. Каждая из семей общины принимает решение о количестве своих овец независимо от других. Цель каждой семьи — максимизация собственной прибыли от выпаса овец на общинном пастбище.
• 1. Сколько овец будет у жителей общины в равновесии?
• 2. При каком количестве овец суммарная прибыль жителей общины максимальна?
• 3. Пусть первоначально существует равновесие из и. 1, не являющееся оптимальным. Вас пригласили для решения проблемы. Вы знаете, что имеет место излишний выпас овец, а также знаете о том, что семьи находятся в одинаковом положении, но не знаете ни функции доходов, ни расходов. Кроме того, семьи могут скрывать информацию о своих доходах, но не о числе овец. Зато вы можете ввести любые штрафы, ограничения и т. п. с целью получить ситуацию, когда доходы каждой семьи одинаковы и максимальны. Каковы могут быть ваши действия?
• 2.8. Жители сельской общины зарабатывают выпасом овец. Число семей в общине равно 25. Овец пасут на общем пастбище. Чем больше на нем пасется овец, тем меньше каждой из них достается травы. Пусть выпас одной овцы на общественном пастбище приносит доход z'(G) = 80 000 — G² (ед.) при G < 283 и v (G) = 0 при G > 283, где G — общее число овец в общине. Расходы на содержание одной овцы составляют 12 500 ед. Каждая из семей общины принимает решение о количестве своих овец независимо от других. Цель каждой семьи — максимизация собственной прибыли от выпаса овец на общинном пастбище.
• 1. Сколько овец будет у жителей общины в равновесии?
• 2. При каком количестве овец суммарная прибыль жителей общины максимальна?
• 2.9. Пусть предельные издержки фирм МС, = МС₂ = 20 и обратная функция спроса Р = 100 — Q, фирмы взаимодействуют в соответствии с моделью дуополии Бертрана.
• 1. Сформулируйте данную экономическую ситуацию как игру, т. е. задайте множества игроков, их стратегий и выигрыши, как функции от выбранных игроками стратегий.
• 2. Изобразите множества наилучшего ответа в пространстве (p_vp₂)•
• 3. Найдите равновесие по Нэшу в чистых стратегиях в данной игре и дайте его экономическую интерпретацию.
• 2.10. Две фирмы конкурируют по Бертрану (по цене). Обратная функция спроса на рынке имеет вид Р = 100 — Q, а издержки фирм составляют ГС, = q², ТС₂ = q. Определите равновесные по Нэшу ситуации в данной модели, построив множества наилучших ответов в пространстве (р_ур₂)•
• 2.11. Три игрока участвуют в статической игре с полной информацией. Их выигрыши (номер координаты совпадает с номером игрока) представлены в следующих таблицах:

Первый игрок выбирает строку, второй игрок выбирает столбец, третий игрок выбирает таблицу.

• 1. Найдите все равновесия по Нэшу в чистых стратегиях в данной игре.
• 2. Определите эффективные по Парето профили чистых стратегий.
• 2.12. Три игрока участвуют в статической игре с полной информацией. Их выигрыши (номер координаты совпадает с номером игрока) представлены в следующих таблицах:

Первый игрок выбирает строк)', второй игрок выбирает столбец, третий игрок выбирает таблицу.

• 1. Найдите все равновесия по Нэшу в чистых стратегиях в данной игре.
• 2. Определите эффективные по Парето профили чистых стратегий.
• 2.13. Три игрока участвуют в статической игре с полной информацией. Их выигрыши (номер координаты совпадает с номером игрока) представлены в следующих таблицах:

Первый! игрок выбирает строку, второй игрок выбирает столбец, третий игрок выбирает таблицу.

• 1. Найдите все равновесия по Нэшу в чистых стратегиях в данной игре.
• 2. Определите эффективные по Парето профили чистых стратегий.
• 2.14. Пусть 8000 человек добираются с окраины до центра города на собственных автомобилях. Каждый из них желает добраться до центра по возможности быстрее. Пусть выигрыш для каждого из них измеряется в числе минут, на которые их поездка меньше часа. Автомобилисты могут выбрать небольшие улочки в качестве маршрута и добраться до центра за 45 мин (т.с. получить фиксированный выигрыш 15) или главный проспект. Время в дороге при выборе главного проспекта зависит от общего числа водителей, выбравших такой маршрут, следующим образом: t = 15 + 0,005/?, где t — время в пути; п — число автомобилистов, выбравших этот маршрут.
• 1. Определите, сколько водителей выберет каждую из альтернатив в равновесии по Нэшу в чистых стратегиях. Будут ли такие ситуации эффективны по Парето? Будет ли при этом минимальным суммарное время в пути?
• 2. Пусть существует монополист, имеющий право взимать тариф фиксированной величины за проезд по главному проспекту. Какой тариф будет установлен, если водители ценят минуту своего времени в 1 ден. ед., а монополист максимизирует выручку? Будет ли при этом минимальным суммарное время в пути?
• 2.15. Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и смешанных стратегиях) для следующей биматричиой игры:

2.16. Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и смешанных стратегиях) для следующей биматричиой игры:

2.17. Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и смешанных стратегиях) для следующей биматричиой игры:

• 1. Найдите все строго доминируемые и слабо доминируемые чистые стратегии игроков.
• 2. Найдите все эффективные по Парето профили чистых стратегий.
• 3. Существует ли в данной игре равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях, такое что каждый из игроков играет с положительной вероятностью только свои первую и третью стратегии? Если такое равновесие существует, укажите его. Если нет, укажите, почему.
• 2.19. Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и смешанных стратегиях) для следующей биматричной игры:

2.20. Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и смешанных стратегиях) для следующей биматричной игры:

• 2.21. Человек на улице нуждается в помощи. Для любого оказавшегося рядом эта помощь ведет к затратам в размере 5 ед. Вместе с тем если кто-нибудь (неважно, кто) окажет помощь, то все получат выигрыш в размере 10 ед. Найдите симметричное равновесие в смешанных стратегиях (равновесие, в котором все выбирают оказание помощи с равной вероятностью) в случае, если рядом оказалось 2 человека или 30 человек. Какова при этом будет вероятность, что помощь будет оказана?
• 2.22. Найдите все равновесия, но Нэшу (в чистых и смешанных стратегиях) для следующей биматричной игры:

2.23. Найдите верхнюю и нижнюю цену матричной игры:

Существует ли в данной игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? 2.24. Найдите верхнюю и нижнюю цену матричной игры:

Существует ли в данной игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? 2.25. Найдите верхнюю и нижнюю цену матричной игры:

Существует ли в данной игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? 2.26. Найдите верхнюю и нижнюю цену матричной игры:

Существует ли в данной игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? 2.27. Решите графически матричную игру:

2.28. Решите графически матричную игру:

2.29. Решите графически матричную игру:

2.30. Решите графически матричную игру:

2.31. Матрица выигрышей антагонистической игры имеет вид.

• 1. Решите графически задачу первого игрока.
• 2. Решите задачу второго игрока, используя решение задачи первого.
• 2.32. Матрица выигрышей антагонистической игры имеет вид

• 1. Выпишите пару взаимно двойственных задач линейного программирования, соответствующую данной игре.
• 2. Решите графически задачу второго игрока.
• 3. Решите задачу первого игрока, используя вторую теорему двойственности.
• 4. Выпишите равновесные стратегии и цену игры.
• 2.33. Матрица выигрышей антагонистической игры имеет вид

• 1. Выпишите пару взаимно двойственных задач линейного программирования, соответствующую данной игре.
• 2. Решите графически задачу второго игрока.
• 3. Решите задачу первого игрока, используя вторую теорему двойственности.
• 4. Выпишите равновесные стратегии и цену игры.
• 2.34. Матрица выигрышей антагонистической игры имеет вид

• 1. Выпишите пару взаимно двойственных задач линейного программирования, соответствующую данной игре.
• 2. Решите графически задачу второго игрока.
• 3. Решите задачу первого игрока, используя вторую теорему двойственности.
• 4. Выпишите равновесные стратегии и цену игры.
• 2.35. Матрица выигрышей антагонистической игры имеет вид^[1]

• [1] Выпишите пару взаимно двойственных задач линейного программирования, соответствующую данной игре. 2. Решите графически задачу второго игрока. 3. Решите задачу первого игрока, используя вторую теорему двойственности. 4. Выпишите равновесные стратегии и цену игры. 2.36. Два игрока играют в игру «камень-ножницы-бумага» на 100 руб. (каждыйвносит в банк 100 руб., победитель получает банк, в случае ничьей каждый возвращает себе вложенные деньги). Запишите эту игру в виде матрицы. Пусть первыйигрок выбрал следующую смешанную стратегию: играть «камень» с вероятностью½, «ножницы» — 3/8, «бумага» — 1/8. Какая стратегия обеспечит второму игрокунаибольший ожидаемый выигрыш в этом случае? Какова величина этого выигрыша? 2.37. Пусть в матричной игре с матрицей 2×2 отсутствует равновесие в чистыхстратегиях. Покажите, что второй игрок получает одинаковый ожидаемый выигрыш от применения любой из своих двух чистых стратегий, если первый игрок использует свою равновесную стратегию.