Формулы среднего значения

Теорема 12.6 (теорема о среднем). Пусть функция /(х) интегрируема на отрезке [а, Ь и числа т и М — соответственно се точные нижняя и верхняя грани на этом отрезке. Тогда

где т < р < М.

Доказательство. Для функции/(х) выполняется оценка 4. Поделив обе части неравенства (12.21) на b — а, имеем.

Обозначая через р число -— f/(x)dx, получаем утверждение теоремы (12.22). ?

b-a^J₀

Примечание. Равенство (12.22) принимает особенно простой вид, если функция/(х) непрерывна на отрезке [а, b). Тогда по второй теореме Всйсрштрасса т М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции; в силу второй теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении существует точка с е [а, Ь, такая, что /© = р, откуда.

Равенство (12.23) называется формулой среднего значения, а величина/(с) — средним значением функции/(х) на отрезке [а, b].

Формула (12.23) имеет ясный геометрический смысл (рис. 12.4): прн/(х) > О величина определенного интеграла равна площади прямоугольника с высотой /© и основанием b — а.

Рис. 12.4.

Теорема 12.7 (обобщенная теорема о среднем). Пусть/(л) иg(л) интегрируемы на отрезке а, />1, т и М — точные нижняя и верхняя грани функции/(а), причем g (x) нс меняет знака на [а, />]. Тогда.

где т < р < Л/.

Доказательство. Пусть g{x) ;> 0 и а < Ь. Из неравенства т < / (а) < М следует, что т ^(а) </(a) g (x) й М g (x). Отсюда на основании оценки 2 и свойства 3 получаем:

ь

В силу оценки 1 имеем j?(x)dv>0. Если этот интеграл равен нулю, то из предыдущих неравенств следует, что одновременно также J/(*)?(*)dx = 0 и утверждение теоремы очевидно. Если же j?(x)dx>0, то, поделив на него обе части.

а

двойного неравенства и положив.

получим утверждение теоремы. ?

В случае непрерывной на отрезке а, Ь функции /(а) формула (12.24) записывается в виде:

где с е а, Ь.

Формулы (12.23) и (12.25) используются при приближенных оценках определенных интегралов.