Совместные, частные и условные функции распределения случайных величин

Совместное распределение случайных величин может быть задано, например, с помощью таблицы, если X и У принимают конечное или счетное множество значений.

Закон совместного распределения случайных величин X и У может быть задан с помощью совместной функции распределения:

Определение 2.25. Если задан совместный закон распределения случайных величин X и У, то частное (.маржинальное) распределение случайной величины X имеет вид.

для дискретного случая и.

для непрерывного случая, где f_x(x) — функция плотности для непрерывной случайной величины.

Математические ожидания и дисперсии случайных величин X и У определяются согласно формулам из определений 2.16 и 2.20.

Определение 2.26. Условная плотность распределения определяется следующим образом:

в непрерывном случае.

Определение 2.27. Если P (Y = Y-X = Х_;) = Р (У = Yj) для всех i = 1,…, п для дискретного случая или f (yx) = f (y) для непрерывного случая, то случайные величины X и У называются независимыми.

В случае независимости случайных величин X и У:

• Р (Х = X,-, У = Yj) = Р (Х = Х_;)Р (У = У_у) в дискретном случае;

* А*, У) = fx (^x)fy (y) ^в непрерывном случае.

Определение 2.28. Условным математическим ожиданием называется величина.

в дискретном случае и.

в непрерывном случае.

Для построения условной дисперсии и ковариации также необходимо использовать условную вероятность.

Стоит отметить, что обобщением двумерных случайных величии, имеющих совместное распределение, служат случайные векторы.

(хл Аналогом математического ожидания для случайного вектора X = :

Л,.

'Е{ХУ

является вектор математических ожиданий ц = Е (Х) =: , а аналогом ад,).

дисперсии — ковариационная матрица^[1]

где а". = var (X,), а,_; = cov (X, X), i, j = 1,п.

• [1] Также далее для ковариационной матрицы используется обозначение V.