Инструментальные переменные. 
Эконометрика

Самый распространенный способ решения проблемы эндогенности — использование инструментальных переменных.^[1]

Определение 9.1. Для переменной X переменные Z, … Z, (/ > 1) называются инструментальными (или инструментами), если:

• 1) Z, Z, хорошо коррелируют с X, т. е. r (Z_v X) О, i = 1,/;
• 2) Z, Z, не коррелируют с ошибками, т. е. r (Z_;, с) ~ 0, г = 1,…, /.

Замечание 9.1. Условие некоррелированности Z, …, Z, и е можно заменить более слабым: plimZe = 0, i =1,…, /.

и —⁰⁰ Д Для модели парной регрессии У = (3₀ + Р, Х + е с эндогенной переменной X, инструментом для которой является переменная Z, оценка коэффициента Р, называется оценкой инструментальных переменных для

ри" _ cov (Z, У).

cov (Z, X) парной регрессии.

Покажем, что эта оценка является состоятельной. Поскольку.

Для модели множественной регрессии Y = р₀ + р, Х, + … + р^, + е, часть переменных в которой эндогенны, можно составить матрицу инструментальных переменных Z = (1 Z, … Z_m). Если т = k, т. е. количество инструментов совпадает с количеством переменных в исходной модели, то.

Эта оценка, как и в случае парной регрессии, является состоятельной (см. задачу 9.5). Если т > к. то для получения состоятельных оценок параметров используется двухшаговый МНК.

1. Каждый вектор X- (/' = 1,…, k) проецируется в пространство векторовинструментов Z,… Ъ_ш. Это равносильно оценке регрессии.

Вектор X- = Z (Z'Z) 'Z'X_; и б}'дет этой проекцией.

Очевидно, что если среди Z,…Z_m есть Х_;, то Х_у = Х_;.

2. Оценивается регрессия, где каждый вектор X. заменяется на свой инструмент Х₍:

МНК-оценка коэффициентов этой регрессии.

называется оценкой инструментальных переменных, если т > k (см. задачу 9.6).

• [1] Подробнее см. в работе [12, с. 150—153].