Изменение температуры в неограниченной среде

Пусть в неограниченной среде задано начальное распределение температуры T=J (x). Для того чтобы определить, как это распределение будет изменяться со временем, можно каждую точку среды считать источником с количеством тепла, равным:

Тогда температуру в любой точке среды в любой момент времени можно записать в виде интеграла от (3.39) по х полагая в этой формуле /' = 0:

Данная формула дает решение поставленной задачи, если задан конкретный вид функции /(х).

Рассмотрим пример, имеющий важное практическое значение. Пусть два одинаковых тела прямоугольной формы нагреты до различных температур. Примем за нуль начальную температуру более холодного тела, а начальную температуру более нагретого тела обозначим через Т. Пусть в момент времени t' = 0 эти тела приведены в соприкосновение (см. рис.), так что получается одно неравномерно нагретое тело, и пусть размер этого тела достаточно велик, так что можно применить формулу (3.40). Тогда начальное распределение температуры (функция Д-О) будет иметь вид «ступеньки»: нуль при х' < 0 и Т при х' > 0 (линия 1 на рис. 3.6), и формула (3.40) принимает вид:

Рис. 3.6.

Вычисление этого интеграла приводит к следующему результату: В области х > 0:

В области х < 0:

На рис. 3.6 изображен вид кривых Т (х) в различные моменты времени t и ^ > 6 (кривые 2 и 3). Тепло постепенно перетекает из более нагретой области в более холодную. В пределе при t -* °°, как видно из полученных формул, во всей среде установится одинаковая температура Т = Т /2 (линия 4), как и должно быть по закону сохранения энергии. В точке jc = 0 (в плоскости соприкосновения тел) температура равна Т /2 в любой момент времени, как и должно быть из соображений симметрии.