Примеры решения нестационарных задач

Температурное поле непрерывного неподвижного точечного источника в неограниченной среде. Функция ошибок Гаусса (функция erf (x)).

Если в точке с координатами х у', z' в интервале времени от t' = 0 до t' = t работает источник тепла мощностью W, то температурное поле этого источника, как указано выше, может быть найдено интегрированием фундаментального решения по t' от 0 до t (т.е. от момента включения до момента выключения источника). Поместим начало координат в точку, где находится источник тепла. Тогда х' = у' = z'= О, и формула для температуры принимает вид:

где г¹ ={х-х')² +{у-у'У +(z-z')² =х² +у^г +z² — квадрат расстояния от источника до точки наблюдения.

Произведем в интеграле (3.34) замену переменных: г² / [4г/ (t — Г)] = а² . Тогда: {t-t')^V2 = г³/(Sa^V2a³),

dt' = г² da / (2 аа²), пределы интегрирования: Н = 0 ->

a = r/(2fat), t' = t^>a = °°, и формула (3.34) принимает вид:

Первый интеграл, стоящий в скобках, известен из курса высшей математики:

а второй интеграл через элементарные функции не выражается и определяет специальную функцию, которая называется.

функцией ошибок Гаусса, или интегралом вероятностей, или функцией эрфектум:

(читается «эрфектум» или сокращенно: «эрф»). Через эту функцию выражаются решения многих задач в теории теплопроводности, да и в других областях физики она играет важную роль.

Из определения (3.36) видно, что erj{0) = 0, a erj{о°) = 1, т. е. егДх) — это монотонно возрастающая функция, вид которой изображен на рис. 3.5. Функция erj{x) табулирована, и ее значения приводятся в различных справочниках; в табл. 3.2 приведены несколько значений этой функции. В библиотеках некоторых языков программирования имеются готовые подпрограммы для вычисления функции егДх). Если готовой подпрограммы нет, функцию erj{x) можно вычислить с помощью степенного ряда. «Стандартное» разложение этой функции в степенной ряд, которое обычно приводится в математических справочниках, имеет вид:

Рис. 3.5.

Таблица 3.2

Некоторые значения функции erj{x)

Этот ряд удобен для анализа свойств функции, но для практических расчетов он неудобен, т. к. является знакопеременным, что при вычислениях приводит к потере точности. Более удобен следующий ряд:

где.

С помощью этого ряда легко составить программу вычисления егДх) на любом языке программирования и даже на программируемом микрокалькуляторе. Суммирование надо прекращать, когда при добавлении очередного а"-го слагаемого сумма перестанет меняться (будет достигнута «машинная точность»).

Если большой точности не требуется, то можно использовать приближенную формулу:

Формула (3.37) дает значения, абсолютная погрешность которых не более 6.3−10'¹, а относительная погрешность не более 0.71%.

Иногда требуется определить erf{x) в области отрицательных значений х. Из формулы (3.36) очевидно, что erf{-x) = = -erf{x).

С функцией erj{x) связано еще несколько функций, часто встречающихся в теплофизических задачах. Это прежде всего дополнительный интеграл вероятностей:

который встречается настолько часто, что для него используется специальное обозначение: erfc (x) (сокращенно читается «эрфик»). Вид этой функции также приведен на рис. 3.5.

Довольно часто функцию erjx) приходится дифференцировать и интегрировать. Из определения (3.36) следует, что.

а интеграл от erfc (x) (обозначается как ierfc (x)) равен:

Вернемся к формуле (3.35). Замечая, чторса = Я, запишем эту формулу в виде:

При t —> оо значение функции erf[r/(2yfat)] —" О, erfc[r/ (2y[at) —" 1, и формула (3.35), как и должно быть, совпадает с формулой для стационарного решения (если То принять за начало отсчета температуры), т. к. при t —*? °о достигается стационарное распределение температуры в безграничной среде.