Примеры решения задач

1. Для измерения коэффициента теплопроводности азота им заполнили пространство между двумя длинными коаксиальными цилиндрами, радиусы которых Г = 0,5 см и /*2 = 2 см. Внутренний цилиндр равномерно нагревали спиралью, но которой проходил ток /= 0,1 А. Сопротивление спирали в расчёте на 1 см длины цилиндра 0,1 Ом. Температуру внешнего цилиндра поддерживали равной 0 °C. При установившемся процессе оказалось, что температу ра t внутреннего цилиндра равна 93 °C. Найти коэффициент теплопроводности азота.

Решение. Уравнение теплопроводности имеет вид j_(/ =-кgrad 7', где }_(t — плотность потока теплоты, то есть, количество теплоты, протекающее в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению вектора j_v, к — коэффициент теплопроводности. Из соображений симметрии следует, что градиент температуры создаётся лишь в радиальном направлении. Согласно закону Джоуля-Ленца, в проводнике с сопротивлением R, по которому течёт ток силой /, за время t выделяется количество теплоты Q равное I~Rt. Следовательно, в радиальном направлении течет поток теплоты, равный /²/?/(2яг), где /*- расстояние от оси цилиндров. Тогда уравнение теплопроводности принимает вид

Разделяя переменные и интегрируя в пределах от Г до г₂, получим для коэффициента теплопроводности выражение.

Подставив сюда численные данные, найдём, что к = 0,2−10 ³ Вт/(м град).

2. Получить выражение для коэффициента теплопроводности разреженного газа, используя уравнение Больцмана в т-приближении и предполагая, что время релаксации является постоянной величиной. Локально равновесную функцию распределения считать равной

где п — концентрация молекул.

Р е ш е н и е. В отсутствии внешних сил и при наличии градиента температуры в направлении оси х стационарное уравнение Больцмана (в тприближении) принимает вид.

или Ясно, что именно второе слагаемое в этой функции распределения и описывает поток частиц в направлении градиента температуры. Каждая частица создаёт поток энергии с плотностью j_); = г где е = mv²[2 — энергия частицы газа. Тогда плотность потока энергии (тепла), который создаётся всеми частицами газа, будет равна.

Так как отклонения от равновесного состояния предполагаются малыми, то при вычислении производной функцию/можно заменить её равновесным значением, тогда.

Проектируя это выражение на ось л: и сравнивая полученный результат с уравнением теплопроводности.

находим коэффициент теплопроводнос ти.

Для выполнения итерирования перейдём в сферическую систему координат в пространстве скоростей. Тогда имеем v_x =tfsin0cos (p,.

dx = v¹ sinQdvdQdip и выражение для к принимает вид.

Интегрирование по углам проводится просто:

В последнем интеграле введём обозначение, а = m/(2kT), тогда.

Эти интегралы выражаются через интеграл Пуассона.

Подставляя результаты интегрирования в выражение для коэффициента теплопроводности, получим окончательно.

3. Используя т-1 ip и ближе н и с уравнения Больцмана для вырожденного электронного газа в металле, находящегося в однородном постоянном электрическом поле, выразить электропроводность через время релаксации, если последнее зависит только от температуры и энергии электрона? и г{р) =р Пт где т эффективная масса электрона.

Решение. Стационарное уравнение Больцмана для однородного проводника, находящегося в однородном электрическом поле с напряжённостью Е запишем в виде Снова заменяя в производной/на J₀, и учитывая, что.

получим выражение для неравновесной функции распределения.

Плотность электрического тока, который создается одним электроном равна j = - cv, следовательно, полная плотность тока определяется выражением

где множитель 2 учитывает вырождение состояний электрона по спину. Спроектируем это выражение на ось х, выбрав её вдоль направления вектора Е:

Сравнивая эго выражение с дифференциальной формой закона Ома j_x = -оЕ_х (знак минус учитывает, что электроны движутся в направлении, противоположном направлению ноля), получим для проводимости, а выражение

Как и в предыдущей задаче, перейдём в сферическую систему координат (на этот раз в пространстве импульсов), тогда.

В последнем интеграле перейдём от интегрирования по импульсам к интегрированию по энергии (р = у] 2т* с) и учтём, что производная по энергии равновесной функции распределения сильно вырожденного электронного газа имеет резкий максимум вблизи энергии Ферми 8f, поэтому значение интеграла можно просто положить равным значению подынтегральной функции на уровне Ферми. Следовательно, Вспоминая, что энергия Ферми определяется выражением.