Контрольные вопросы. 
Математическое моделирование нелинейных процессов

• 1. Как метод продолжения по параметру связан с методом Ньютона решения систем нелинейных алгебраических уравнений?
• 2. Как выглядит алгоритм вычисления частных производных, необходимых для решения нелинейной краевой задачи методом праллельной стрельбы?
• 3. Одна и та же краевая задача решается методом стрельбы и методом параллельной стрельбы. Какие преимущества будет иметь метод параллельной стрельбы?

Задания для самостоятельной работы

• 8.1. Постройте метод продолжения по параметру для поиска корней нелинейного уравнения гх⁵ -х² + 1 = 0 при изменении параметра от 0 до 0,25.
• 8.2. Найдите стационарные структуры в системе «брюсселятор»

где f (u, v) = A-(B +)u + u²v; g (u, v) = Bu-u²v; D_u =0,0016; D_v = 0,008; A = 2, В = 4,6 с граничными условиями м (0) = u (X) = 2, я (0) = v (X) = 2,3 в зависимости от X (X — порядка нескольких сотен, при численном исследовании следует использовать значения от 50 до 500).

8.3 (нелинейная задача, имеющая решение с любым периодом). Рассмотрите движение частицы в поле с потенциалом Тоды^х

Это уравнение можно трактовать как движение частицы единичной массы в поле с потенциалом U (x) = е^х — х.

С помощью вашего любимого численного метода найдите какое-нибудь периодическое решение задачи, отличное от тривиального. Какие вычислительные трудности возникли при таком решении?

8.4. Решите численно краевую задачу.

Решением этой задачи являются так называемые пиковые, или пичковые, структуры. Известно, что при фиксированных А и В существует по четыре линейно независимых решения, таких что limу (х, г) = 0 при всехх, за исключением точекx_i=i/n;

с—>0.

z=l,…, п — 1, п е N (п > 2), где lim у (х, г) = л/2.

е->0.

Попытайтесь обнаружить такие структуры для п = 2, п = 3, выбирая соответствующее начальное приближение при линеаризации по Ньютону (положите е = 10 ², 10 ³, 1(H).

Постройте асимптотический метод решения задачи при малом е.

8.5. Известно, что краевая задачаег/" = у³ — у> у (0) = А < -1, у ( 1) = В > 1 имеет решение с внутренним пограничным слоем в точкех= 1 /2. Исследуйте, как его толщина зависит от параметра е.

Какое начальное приближение надо использовать при решении задачи методом линеаризации?^[1]

Известно, что при А = О, В = 0 данная краевая задача имеет еще два решения, кроме тривиального (у = 0). Найдите их численно.

8.6. Исследуйте следующую сингулярно возмущенную задачу:

в зависимости от вида функции а (х). Рассмотрите поведение решения при е—>0. Для этого воспользуйтесь асимптотическими методами, численным решением линейной краевой задачи и методами продолжения по параметру. Удалось ли вам получить пограничный слой типа всплеска?

8.7. Распределение концентрации реагента и температуры смеси (в безразмерном виде) для трубчатого реактора с аксиальным перемешиванием находится как решение нелинейной краевой задачи.

где у — концентрация; 0 — температура; Da — число Дамкёлера; Ре_м, Ре_т — массовое и тепловое числа Пекле; у — энергия активации; Р — коэффициент теплопередачи; В — адиабатическое повышение температуры; 0_С — температура охладителя.

Граничные условия для задачи таковы: /%_мг/(О)-г/'(0) = О, Рб^,_т0(О)-0'(0) = 0, У'(У) = 0, 0'(1) = 0.

Найдите численно решения краевой задачи при значениях параметров Ре_м = 5, Ре_т = 10, у = 20, Р = 2, В = 15 и 0_С =0 для значений параметра Da 0,05; 0,063; 0,07; 0,08; 0,1; 0,012. Сколько решений при том или ином значении числа Дамкёлера вам удалось найти?

• [1] Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука; Физматлит, 1997.