Симметричность тензора напряжений

Рассматривая условия равновесия моментов, создаваемых касательными к граням компонентами напряжений, можно установить, что этот тензор является симметрическим. Применим закон изменения момента количества движения к некоторому материальному объему. Формулировка этого закона будет следующей. Изменение в единицу времени момента количества движения в некотором подвижном объеме, состоящем из одних и тех же частиц среды, происходит за счет момента сил, приложенных к этому материальному объему:

Заметим, что данная формулировка не учитывает возможность обладания частицами материального объема внутренним моментом количества движения. Это может быть в случае, если каждая материальная частица, составляющая выделенный объем, представляет собой «волчок», обладающий моментом количества движения. Тогда у материального объема может появиться момент, определяемый действием совокупности внутренних моментов количества движения частиц. Например, маленькие волчки тормозятся, передавая материальному объему реактивный момент.

Среды с внутренним моментом количества движения в классической гидродинамике обычно не рассматриваются. Интерес к ним возник сравнительно недавно в связи с изучением гидродинамики сред с особой микроструктурой. В частности, для магнитной среды, типичного примера среды с внутренним моментом, эти эффекты могут быть существенными. Например, магнит, подвешенный на нити и нагреваемый, начинает вращаться вследствие размагничивания.

В задачах взрывной деформации металлов весьма существенными могут быть эффекты намагничивания и размагничивания, поэтому для таких сред нужно строить теорию напряжений с учетом внутренних моментов количества движения.

Эти особые случаи относятся к теории обобщенных сред с так называемыми моментными напряжениями. Иногда такие среды, в которых тензор напряжений уже не является симметрическим, называются континуумом Коссера^[1].

В последнее время делаются попытки представить турбулизованные среды как среды с внутренними источниками момента количества движения. Однако такой подход является пока если не спорным, то, во всяком случае, нс устоявшимся.

Мы же, ограничившись сделанным замечанием, будем в дальнейшем рассматривать среды без внутренних источников момента количества движения.

Применим приведенное выше условие отсутствия внутреннего момента к элементу объему деформированной среды, взятому в форме элементарного параллелепипеда, ориентированного по осям координат. Получим /Лгу = Pyx, Руг = Ргу, Ргх = Рхг- ТаКИМ обраЗОМ, напряженное состояние в точке сплошной среды определяется симметрическим тензором.

В теории упругости традиционно компоненты тензора напряжений обозначаются следующим образом:

<7_х, <7у, о_z называются нормальными, т_ху, T_yz, r_xz — касательными напряжениями.

Гпавные оси и главные нормальные напряжения. Так как тензор напряжений симметрический, то характеристическое уравнение имеет действительные корни и, следовательно, могут быть определены главные направления в пространстве (тензор напряжений приводится к главным осям).

Если оси системы координат будут связаны с этими главными направлениями, то тензор напряжений приведется к диагональному вид}':

В этом случае главные значения тензора <72, <73 называются главными нормальными напряжениями и помечаются одним числовым индексом. Напряженное состояние при таком выборе осей определяется только нормальными напряжениями, напряжения сдвига — касательные напряжения на главных площадках — отсутствуют.

Направления главных осей определяются из совокупности линейных однородных уравнений.

Таким образом, главные направления направлены, но собственным векторам матрицы тензора напряжений. В силу однородности этих систем собственные вектора определяются с точностью до масштабного множителя, который обычно выбирается так, чтобы модуль собственного вектора был равен единице. Нахождение собственных значений и собственных векторов (eigenvalue, eigenvector) является базовой операцией линейной алгебры и обеспечивается программной поддержкой.

Главные нормальные напряжения определяются как корни характеристического уравнения det (V — (т,?) = 0, которое приводится к кубическому уравнению of — Цof + I^cn — /3 = 0, коэффициенты которого не зависят от выбора осей координатной системы и представляют три инварианта тензора напряжений. Эти инварианты могут быть выражены как через напряженное состояние для произвольно повернутых осей, так и через главные значения тензора напряжений:

Иногда их называют соответственно линейным, квадратичным и кубичным инвариантами. Величину а = SpP/З называют средним нормальными напряжением.

• [1] Братья Эжен Морис Пьер Коссера (Cosserat Е.М.Р., 1866−1931) и ФрансуаКоссера (Cosserat F, 1852−1914) — французские ученые, математик и инженер, которые впервые ввели в рассмотрение такие среды и описали их свойства.