Понятие о радиусе инерции и моменте сопротивления сечения

Радиусом инерции сечения относительно какой-либо оси называют величину определяемую из равенства / = Аг².

Иными словами, радиус инерции сечения есть его геометрическая характеристика, представляющая собой такое расстояние от оси до некоторой точки поперечного сечения, при котором произведение площади сечения на квадрат этого расстояния равно осевому моменту инерции.

На основании этого определения для плоского сечения можем записать для осевых радиусов инерции:

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции:

Радиусы инерции измеряются в метрах или сантиметрах (м или см).

Рис. 8.3.

Моментом сопротивления сечения относительно какой-либо оси называется отношение осевого момента инерции относительно этой оси до наиболее удаленной точки сечения (рис. 8.3).

Геометрические характеристики для некоторых типов плоских фигур приведены в прил. 5, а для сечений стальных прокатных профилей — в прил. 6—9.

Рассмотрим несколько примеров определения геометрических характеристик плоских сечений.

Пример 8.1.

Требуется определить геометрические характеристики прямоугольного сечения с круглым отверстием (рис. 8.4, а).

Рис. 8.4.

Решение. Сечение имеет вертикальную ось симметрии. Поэтому положение одной из главных центральных осей (оси у) известно. Центр тяжести сечения располагается на этой оси, и для определения его положения достаточно определить только одну координату.

Заданное сечение разделяем на две фигуры: прямоугольник (фигура 1) размером 24×48 см и круг (фигура 2) диаметром 20 см (см. рис. 8.4, а).

Найдем геометрические характеристики выбранных фигур относительно собственных центральных осей.

1. Площади сечения:

Л, = 24 -48 = 1152 см².

А₂ = -п ? 10² = -314,6 см² (знак «минус» показывает, что площадь фигуры описывает отверстие в сечении).

А = А, + А₂ = 1152 — 314,6 = 837,4 см².

• 2. Осевые моменты инерции (см. прил. 5) фигур 1 и 2 относительно собственных центральных осей:
• 1_2{ =24−483 /12 = 221 184 см⁴,
• 1_у[ =48−24³/12 = 55 296 см⁴;

I_Z2 = 1_у2 = я • 10⁴ / 4 = 7865 см⁴.

3. Положение центра тяжести сечения относительно вспомогательной оси и при координатах центров тяжести фигур 1 и 2 o_t = 24 см, о₂ = 36 см (рис. 8.4, 6) определим согласно формулам (8.2):

и_с= (1152 • 24 — 314,6 • 36)/ 837,4 = 19,49 см.

Положение центральных осей сечения показано на рис. 8.4, в.

Положение центров тяжести фигур 1 и 2 в полученной собственной системе координат для всего сечения:

а_л = 0; Ь_х = 24 — 19,49 = 4,51 см; а₂ = 0; Ь₂ = 36 — 19,49 = 16,51 см.

• 4. Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10):
• 1₂ = (221 184 + 4,51² • 1152) — (7865 + 16,51² • 314,6) = 155 997 см⁴;
• 1_у = 55 296 — 7865 = 47 431 см⁴;
• 1_2у— 0, так как ось у — главная ось инерции;

/_р= 155 667 + 47 421 = 203 428 см⁴.

• 5. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):
• 1155 997 ,_оп. /47 431, _ео
• 2 V 837,4 ' ^у V 837,4
• 6. Моменты сопротивления сечения при z_max =12 см и г/_тах = 28,51 см (см. рис. 8.4, в) определим по формулам (8.24):

U/ =155 997/28,51 = 5471,6 см³;

W_y =47 421/12 = 3952,6 см³.

Пример 8.2.

Требуется определить геометрические характеристики швеллера, составленного из прямоугольных элементов (рис. 8.5, а).

Решение. Сечение имеет горизонтальную ось симметрии. Поэтому положение одной из главных центральных осей (оси z) известно. Центр тяжести сечения располагается на этой оси, и для определения его положения достаточно определить только одну координату.

Заданное сечение представим в виде двух фигур: прямоугольника 1 размером 18×36 см и прямоугольника 2 размером 12×24 см (рис. 8.5, б). Центры тяжести этих фигур располагаются на пересечении диагоналей.

Определим геометрические характеристики выбранных фигур относительно собственных центральных осей.

1. Площади сечения.

Л, = 18 • 36 = 648 см².

Л₂ = -12 • 24 = -288 см² (знак «минус» показывает, что площадь фигуры описывает отсутствие материала сечения).

Л, = Л, + Л₂ = 848 — 288 = 360 см².

2. Осевые моменты инерции (см. прил. 5) фигур относительно собственных центральных осей:

I_2[ = 18−36³/12 = 69 984 см^{4_}1_у{ = 36 • 183 /12 = 17 496 см4;}

• 1_Ч = 12 • 24³ /12 = 13 824 см⁴,1_у2 = 24 • 12³ /12 = 3456 см⁴.
• 3. Положение центра тяжести сечения относительно вспомогательной оси и при координатах центров тяжести фигур 1 и 2 соответственно = 9 см, и₂ = 12 см (см. рис. 8.5, б) определим согласно формулам (8.3):

w_c= (648−9-288 12)/360 = 6,6 см.

Положение центральных осей сечения показано на рис. 8.5, в.

Положение центров тяжести фигур 1 и 2 в полученной собственной системе координат для всего сечения:

а=щ-и_с= 9−6,6 =2,4 см; Ь_{= 0; ^а2 ^{= и}2 ~^ис ⁼ 12−6,6 = 5,4 см; Ь₂ = 0.

• 4. Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10):
• 1₂= 69 984 — 13 824 = 56 160 см⁴;
• 1_у= (17 496 + 2,4²-648) — (3456 + 5,4² • 288) = 9374 см⁴;
• 1_2у= 0, так как ось z — главная ось инерции;

/_р= 56 160 + 9374 = 65 534 см⁴.

5. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):

. 156 160 ._{0 /о}. /9374 ^.

• 2 ^{М 360 ^ V 360}
• ^{6. Моменты сопротивления сечения при z_max = 11,4 см и г/_тах = 18 см (см. рис. 8.5, в) определим по формулам (8.24):}

^{W₂ = 56 160 / 18 = 3120 см3; у_у = 9374 / 11,4 = 822,3 см3.}

Рис. 85.

Требуется определить геометрические характеристики сечения, составленного из прямоугольных элементов (рис. 8.6, а).

Решение. Сечение не имеет осей симметрии. Представим его в виде трех фигур: прямоугольника 1 размером 15×6 см, прямоугольника 2 размером 6×15 см и прямоугольника 3 размером 24×6 см. Центры тяжести этих фигур располагаются на пересечении диагоналей (рис. 8.6, 6).

Рис. 8.6.

Определим геометрические характеристики выбранных фигур относительно собственных центральных осей.

1. Площадь сечения.

Л_{ = 6 • 15 = 90 см²; Л₂ = 15 • 6 = 90 см²; Л₃ = 21 • 6 = 126 см².

А_{= А_х + А₂ + Дз = 90 + 90 + 126 = 306 см².

• 2. Осевые моменты инерции (см. прил. 5) фигур 1—3 относительно собственных центральных осей:
• 1_2[ = 15−6³/12 = 270 см⁴, 1_у[ = 6−15³ /12 = 1687,5 см⁴;

/ = 6 • 15³/12 = 1687,5 см⁴, I_l/2 = 15 • 6³ /12 = 270 см⁴;

• 1_2з =21−6³ /12 = 378 см⁴, 1_уз = 6−21³ /12 = 4630,5 см⁴.
• 3. Положение центра тяжести сечения относительно вспомогательных осей who при координатах центров тяжести фигур 1—3 (см. рис. 8.6, 6) соответственно и_{ = 4,5 см, u_t = 10,5 см; и₂ = 0, и₂ = 0; щ = 7,5 см, и₃ = -10,5 см определим по формулам (8.3):

и_с = (90 -4,5 + 126−7,5) / 308 = 4,41 см.

о_с = (90 • 10,5 -126 • 10,5) / 308 = -1,23 см.

Примечание. Оси и и и проведены через центр тяжести фигуры 2, что дает упрощения при использовании формул (8,3).

Положение центральных осей сечения показано на рис. 8.6, в.

Положение центров тяжести фигур 1—3 в полученной собственной системе координат для всего сечения:

а_х =и_х— и_с = 4,5 — 4,41 = 0,09 см, by = - и _с= 10,5 — (-1,23) = 11,73 см;

а₂ = ^и2~ и_с = -4,41 см, Ь'2 = ^и 2 «^u с⁼ 1*23 см;

а_ъ = иу — и_с = 7,5 — 4,41 = 3,09 см,.

Ъ_ъ — и з — о _с= -10,5 — (-1,23) = -9,27 см.

• 4. Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10):
• 1₂ = (270 +11,73² • 90) + (1687,5 +1,23² • 90) + (378 + 9,27² -126) = 25 682,57 см⁴; 1_у=(1687,5 + 0,09² • 90)+(270+4,41² • 90)+(4630,5 + 3,09² • 126) = 9633,12 см⁴; 1_2у = 90• 0,09• 11,73 + 90-(-4,41)-1,23 + 126 • 3,09 (-9,27) = -4002,36 см⁴;

/_р = 25 682,57 + 9633,12 = 35 315,69 см⁴.

5. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):

. 25 682,57. 9633,12.

г, = J-=9,16 см; г. = J-=5,61 см.

• 2 V 306 ^у V 306
• 6. Моменты сопротивления сечения при z_max = 13,59 см и г/_тах = 14,73 см (рис 8.6, г) определим, но формулам (8.24):

W_z = 25 682,57/14,73 = 1743,55 см³;

W_y = 9633,12/13,59 = 708,84 см³.

• 7. Угол наклона главных центральных осей согласно (8.18): tg20 = -2 (-4002,36) / (25 682,57 — 9633,12) = 0,4986;
• 20 = 26°30', 0 = 13° 15'.

Угол 0 при выбранном направлении осей z и у откладываем против часовой стрелки от оси г (см. рис. 8.6, г).

8. Главные моменты инерции сечения согласно (8.19): /, = 0,5(25 682,57 + 9633,12) + 0,5^(25 682,57 — 9633,12)² + 4 -4002,36² =.

= 26 625,29 см⁴ = /_тах,.

/₂ =0,5(25 682,57 + 9633,12) — 0,5^(25 682,57 — 9633,12)² + 4 -4002,36² =.

= 8690,4 см⁴ = 7_min.

Таким образом, направление главной центральной оси /, относительно которой момент инерции равен 1_{ = /_тах, определяется углом 0 = 13° 15'.

9. Главные радиусы инерции определим по формулам (8.23):

. 126 625,29 q qq 18690,4 _е 00

I = J-= 9,33 см; ц = J-= 5,33 см.

¹ V зов ² V зоб Пример 8.4.

Требуется определить геометрические характеристики сечения, составленного из двух швеллеров № 24 /ГОСТ 8240—97 (см. рис. 8.7 и прил. 7).

Решение. Сечение симметричное, поэтому положение главных центральных осей (у и z) известно. Центр тяжести сечения располагается на пересечении осей у и z.

Геометрические характеристики для одного швеллера согласно ГОСТ 8240–97 имеют следующие значения:

А | = 30,6 см²,1_г = 2900 см⁴,1_у{ = 208 см⁴, z_{) = 2,42 см.

Рис. 8.7.

Определим геометрические характеристики выбранных фигур относительно центральных осей сечения.

• 1. Площадь сечения А = 2А_{ = 61,2 см^[1][2][3].
• 2. Положение центров тяжести швеллеров в собственной системе координат для всего сечения: а = 13 — 2,42 = 10,58 см.
• 3. Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10):
• 1_г = 21₂ = 5800 см^[4],1_у = 2 • (208 + 10,58^[3] • 30,6) = 7266,5 см^[4]; 1_2у = 0.
• 4. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):

/5800 17 266,5.

i_z = |-= 9,/4 см; г. =-— = 10,89 см.

• 2 V 61,2 ^у V 61,2
• 5. Моменты сопротивления сечения согласно формул (8.24):

W_z = 2V_Z = 2•242 = 484 см{{ Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10): Iz=I!/=A. (747,48 + 15,85^[3] • 34,89) = 38 050,5 см^[4]; 1гу= 0, так как оси у и z — главные оси инерции;}}; W_y = 7266,5/13 = 558,96 см{{ Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10): Iz=I!/=A. (747,48 + 15,85^[3] • 34,89) = 38 050,5 см^[4]; 1гу= 0, так как оси у и z — главные оси инерции;}}.

Рис. 8.8.

• 4. Радиусы инерции определим по формулам (8.22):
  • • • /38 050,5 _4СО/
  • — К =л-= 15,84 см.
• 2 ^у V 151,56
• 5. Моменты сопротивления сечения согласно формулам (8.24) W₂ =W_f/ = 38 050,5 / 20 = 1902,5 см³.

• [1] Пример 8.5 Требуется определить геометрические характеристики квадратного сечения (рис. 8.8), составленного из четырех равнополочных уголков № 150×150×12 /ГОСТ 8509−93 (см. прил. 9). Решение. Сечение симметричное, поэтому положение главных центральных осей (у и z) известно. Центр тяжести сечения располагается на пересечении осей у и z. Геометрические характеристики для одного уголка согласно ГОСТ 8509–93имеют следующие значения: А{ =34,89 см³,12[ = 1у[ =747,48 см4, z0 =4,15 см. Определим геометрические характеристики выбранных фигур относительно центральных осей сечения.
• [2] Площадь сечения, А = 4/Ц = 151,56 см³.
• [3] Положение центра тяжести уголков относительно центральных осей сечения: а = b = 0,5 • 40 — 4,15 = 15,85 см.
• [4] /р = 2/г = 76 101 см4.
• [5] Положение центра тяжести уголков относительно центральных осей сечения: а = b = 0,5 • 40 — 4,15 = 15,85 см.
• [6] /р = 2/г = 76 101 см4.
• [7] Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10): Iz=I!/=A. (747,48 + 15,85{{ Положение центра тяжести уголков относительно центральных осей сечения: а = b = 0,5 • 40 — 4,15 = 15,85 см.
• [8] /р = 2/г = 76 101 см4.
• [9] Моменты инерции сечения определим по формулам (8.14) и (8.10): Iz=I!/=A. (747,48 + 15,85{{ Положение центра тяжести уголков относительно центральных осей сечения: а = b = 0,5 • 40 — 4,15 = 15,85 см.
• [10] /р = 2/г = 76 101 см4.