Теорема о взаимности возможных реакций

Рассмотрим упругую линейно деформируемую статически неопределимую систему (рис. 12.5).

Рис. 125.

Для этой системы рассмотрим два состояния, вызванные смещением связей i и к на величины Д, — и A_k соответственно. Как отмечалось в параграфе 3.1, статически неопределимые расчетные схемы имеют избыточное число связей, г. е. большее число, нежели необходимо, чтобы обеспечить расчетной схеме геометрическую неизменяемость. Наличие избыточных связей препятствует свободному развитию деформаций, поэтому при смещении связей в элементах расчетной схемы возникают внутренние силы и реакции в связях.

Таким образом, при смещении связи i на величину Д, (рис. 12.5, а) во всех связях упругой системы реакции, в частности в связях ink — это реакции Rjj и R_ki. Аналогично, при смещении связи к на величину A_/t (рис. 12.5, б) возникают реакции R_ik и R_kk (реакции в опорах А и В на рис. 12.5 условно не показаны, так как при указанных смещениях они не совершают никакой работы по причине неподвижности опорных точек). Для указанных состояний воспользуемся теоремой о взаимности возможных работ (12.17):

По аналогии с (12.1) реакции в любых связях можно представить в виде.

где r_ki — реакция в связи к от единичного смещения связи i; r_ik — реакция в связи i от единичного смещения связи к.

Подставив формулы (12.20) в (12.19) и выполнив сокращения левой и правой частей на одинаковые величины, получим.

Выражение (12.21) представляет собой аналитическое выражение теоремы о взаимности возможных реакций (теоремы Рэлея).

Возможная реакция в связи i от единичного смещения связи k численно равна возможной реакции в связи k от смещения связи i.