Учет симметрии. 
Строительная механика для архитекторов

При расчете симметричных рам методом перемещений используются те же приемы, что и при расчете методом сил: способ группировки неизвестных и способ разложения нагрузки.

При группировке неизвестных перемещения симметрично расположенных узлов основной системы можно представлять в виде суммы (Z, + Z_k) и разности (Z, — Z_k) так, чтобы эпюры Mf и Mf от принудительного единичного смещения дополнительных связей были симметричными и кососимметричными. Тогда побочные коэффициенты системы канонических уравнений, определяемые по этим эпюрам изгибающих моментов, r_ik = r_ki = 0.

Неудобство этого способа состоит в необходимости определять групповые реакции в связях, а для стержней, пересекающих оси симметрии, — строить суммарные эпюры изгибающих моментов от симметричных или кососимметричных смещений дополнительных связей.

Способ разложения нагрузки более нагляден. Например, симметричная рама, изображенная на рис. 14.21, а, имеет шесть угловых и два линейных смещения (п_к = 8, рис. 14.21, б). При симметричном загружении на основании свойства 1 (см. параграф 13.5) мы можем рассмотреть только половину схемы, в которой степень кинематической неопределимости будет п_к = 2. Для той же рамы, но загруженной кососимметричной нагрузкой (рис. 14.22, а), при представлении ее на основании свойства 2 в виде половины расчетной схемы степень кинематической неопределимости будет п_к = 6 (рис. 14.22, 6). Общее количество неизвестных метода перемещений при симметричном и кососимметричных загружениях равно полной степени кинематической неопределимости.

Рис. 14.21.

Рис. 14.22.

Еще большее сокращение количества неизвестных можно получить в однопролетных рамах любой этажности.

В качестве примера рассмотрим симметричную двухэтажную однопролетную раму (рис. 14.23, а). Степень кинематической неопределимости данной рамы п_к = 6 (рис. 14.23, 6).

Рис. 14.23.

После разложения нагрузки 2Ена основании свойств симметрии имеем:

• — при симметричном загружении Z₃ = ~Z_X Z₄ = -Z₂; Z₅ = Z₆= 0;
• — при кососимметричном загружении Z₃ = Z_x Z₄ = Z₂; Z₅ ^ 0; Z₆ ^ 0.

Таким образом, система канонических уравнений шестого порядка распалась на две подсистемы, второго порядка при симметричном и четвертого порядка при кососимметричном загружениях.

При рассмотрении того же симметричного загружения па половине расчетной схемы (рис. 14.24) также получают систему из двух уравнений, так как для стержней АС и BD можно использовать таблицы метода перемещений, учитывающие линейную подвижность одного конца стержня относительно другого (см. табл. 6 нрил. 10 и табл. 5—8 прил. 11). Следовательно, для получения основной системы достаточно ввести лишь две угловые дополнительные связи.

Рис. 14.24.

При рассмотрении кососимметричного загружения на половине расчетной схемы (рис. 14.25, а) количество неизвестных по сравнению с рис. 14.23 снижается вдвое, так как в стержнях Л В и CD поперечные силы могут быть определены из уравнений равновесия, и, следовательно, можно применить основную систему без постановки линейных связей (рис. 14.25, б).

Рис. 14.25.